等差数列是数学中的一个重要知识点，在各类考试中频繁出现。掌握等差数列的基本性质和解题技巧，不仅能帮助我们快速解答相关问题，还能培养逻辑思维能力。以下是几道经典的等差数列试题及其详细解答，供同学们参考。
例题 1
已知一个等差数列的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 4$，求第 $10$ 项 $a_{10}$ 的值。
解析：
等差数列的通项公式为：
$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$
将已知条件代入公式：
$$
a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 36 = 39
$$
因此，第 $10$ 项的值为：
$$
\boxed{39}
$$
例题 2
已知等差数列的前 $5$ 项之和为 $S_5 = 35$，且公差 $d = 2$，求首项 $a_1$ 的值。
解析：
等差数列的前 $n$ 项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)
$$
将已知条件代入公式：
$$
35 = \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + (5-1) \cdot 2)
$$
化简方程：
$$
35 = \frac{5}{2} \cdot (2a_1 + 8)
$$
$$
35 = 5a_1 + 20
$$
$$
5a_1 = 15 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 3
$$
因此，首项的值为：
$$
\boxed{3}
$$
例题 3
已知等差数列的第 $7$ 项为 $a_7 = 15$，第 $12$ 项为 $a_{12} = 25$，求该数列的首项 $a_1$ 和公差 $d$。
解析：
利用等差数列的通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$
对于 $a_7 = 15$ 和 $a_{12} = 25$，分别有：
$$
15 = a_1 + 6d \tag{1}
$$
$$
25 = a_1 + 11d \tag{2}
$$
用 $(2)-(1)$ 消去 $a_1$：
$$
25 - 15 = (a_1 + 11d) - (a_1 + 6d)
$$
$$
10 = 5d \quad \Rightarrow \quad d = 2
$$
将 $d = 2$ 代入 $(1)$：
$$
15 = a_1 + 6 \cdot 2
$$
$$
15 = a_1 + 12 \quad \Rightarrow \quad a_1 = 3
$$
因此，首项和公差分别为：
$$
\boxed{a_1 = 3, \, d = 2}
$$
例题 4
若一个等差数列的前 $n$ 项和为 $S_n = n^2 + 3n$，求该数列的首项 $a_1$ 和公差 $d$。
解析：
等差数列的前 $n$ 项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d)
$$
与题目所给公式对比：
$$
S_n = n^2 + 3n
$$
令 $n = 1$，则 $S_1 = a_1$：
$$
S_1 = 1^2 + 3 \cdot 1 = 4
$$
因此，首项为：
$$
a_1 = 4
$$
再令 $n = 2$，则 $S_2 = a_1 + a_2$：
$$
S_2 = 2^2 + 3 \cdot 2 = 4 + 6 = 10
$$
因此：
$$
a_1 + a_2 = 10
$$
由于 $a_2 = a_1 + d$，代入得：
$$
4 + (4 + d) = 10 \quad \Rightarrow \quad d = 2
$$
综上所述，首项和公差分别为：
$$
\boxed{a_1 = 4, \, d = 2}
$$
通过以上四道经典例题，我们可以总结出解决等差数列问题的核心方法：熟练运用通项公式和前 $n$ 项和公式，并结合已知条件灵活变形。希望这些题目能帮助大家更好地理解和掌握等差数列的知识点！
