在数学学习中，指数和对数是两个非常重要的概念，它们不仅在代数领域有着广泛的应用，还常常出现在物理、化学以及工程学等领域。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容，以下整理了一些基础且具有代表性的练习题，供读者参考。

一、指数运算

练习1：

计算 \(3^4 \times 3^{-2}\) 的结果，并将其化简为最简形式。

解析：根据指数法则 \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)，可以得出：

\[ 3^4 \times 3^{-2} = 3^{4+(-2)} = 3^2 = 9 \]

练习2：

求解方程 \(5^{x+1} = 125\) 中的未知数 \(x\)。

解析：首先将 125 表示为 5 的幂次，即 \(125 = 5^3\)。因此原方程可写成：

\[ 5^{x+1} = 5^3 \]

由于底数相同，可以直接比较指数部分，得到：

\[ x + 1 = 3 \]

解得 \(x = 2\)。

二、对数运算

练习3：

已知 \(\log_{10}(1000) = 3\)，验证是否正确。

解析：根据对数定义，\(\log_b(a) = c\) 等价于 \(b^c = a\)。这里 \(b=10\)，\(a=1000\)，\(c=3\)。显然，\(10^3 = 1000\) 成立，所以结论正确。

练习4：

计算 \(\log_2(8)\) 的值。

解析：设 \(\log_2(8) = x\)，则由对数定义可知 \(2^x = 8\)。因为 \(8 = 2^3\)，所以 \(x = 3\)。故 \(\log_2(8) = 3\)。

三、综合应用

练习5：

若 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)，证明公式 \(\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)\)。

解析：假设 \(\log_a(x) = m\) 和 \(\log_a(y) = n\)，则 \(a^m = x\) 和 \(a^n = y\)。由此可得：

\[ xy = a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

因此，\(\log_a(xy) = m + n = \log_a(x) + \log_a(y)\)。

通过以上练习题，相信你对指数与对数的基本运算有了更深的理解。希望这些题目能够帮助你在实践中巩固知识点，提升解题能力！如果还有疑问，欢迎随时交流探讨。