在物理学和工程学中，固有频率是一个非常重要的概念，它描述了系统在没有外部驱动力的情况下，能够自由振动的频率。无论是机械结构、建筑桥梁还是电子电路，固有频率都决定了系统的动态特性。因此，准确地计算固有频率对于设计和分析各类系统至关重要。

固有频率的计算公式通常与系统的质量和刚度有关。最经典的例子是单自由度弹簧-质量系统。假设一个质量为 \( m \) 的物体通过一根弹性系数为 \( k \) 的弹簧固定在一个平面上，那么该系统的固有频率 \( f_n \) 可以通过以下公式表示：

\[

f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

\]

在这个公式中：

- \( f_n \) 表示系统的固有频率（单位为赫兹 Hz）。

- \( k \) 是弹簧的弹性系数（单位为牛顿每米 N/m）。

- \( m \) 是系统的质量（单位为千克 kg）。

从公式可以看出，固有频率与系统的质量和刚度密切相关。具体来说：

- 当质量 \( m \) 增大时，系统的固有频率会降低；

- 当刚度 \( k \) 增大时，系统的固有频率会升高。

除了单自由度系统外，在更复杂的多自由度系统中，固有频率的计算需要引入特征值问题。例如，对于一个由多个质量块和弹簧组成的多自由度系统，其固有频率可以通过求解质量矩阵 \( M \) 和刚度矩阵 \( K \) 的特征值问题来获得。具体的数学表达式为：

\[

\det(K - \lambda M) = 0

\]

其中 \( \lambda \) 是特征值，对应的平方根即为固有频率 \( \omega_n \)，即 \( \omega_n = \sqrt{\lambda} \)。进一步地，固有频率 \( f_n \) 可以通过 \( f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} \) 转换为实际频率。

在实际应用中，固有频率的概念还广泛应用于振动控制领域。例如，在建筑设计中，工程师需要避免结构的固有频率与外界激励频率重合，以防止共振现象的发生。此外，在电子电路中，电感和电容构成的振荡回路也有其特定的固有频率，这直接影响到信号处理的效果。

总之，固有频率是研究动态系统行为的基础。通过对固有频率的计算和分析，我们可以更好地理解系统的行为特性，并据此优化设计或采取相应的防护措施。掌握好固有频率的计算方法，不仅有助于解决实际工程问题，还能为科学研究提供理论支持。