在数学领域，秦九韶算法是一种用于计算多项式值的有效方法。它通过减少乘法次数来提高计算效率，广泛应用于工程、物理以及计算机科学中。接下来，我们将通过一些练习题来加深对这一算法的理解。
例题1
假设我们有一个三次多项式 \(f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 5x - 6\)，我们需要计算当 \(x = 2\) 时的函数值。
按照秦九韶算法的步骤：
1. 将系数按降幂排列：\[a_3 = 3, a_2 = -4, a_1 = 5, a_0 = -6\]
2. 初始化结果为最高次项系数：\[v = 3\]
3. 对每一项进行迭代计算：
\[
v = v \cdot x + a_{n-1} = 3 \cdot 2 - 4 = 2
\]
\[
v = v \cdot x + a_{n-2} = 2 \cdot 2 + 5 = 9
\]
\[
v = v \cdot x + a_{n-3} = 9 \cdot 2 - 6 = 12
\]
最终结果为 \(f(2) = 12\)。
例题2
给定四次多项式 \(g(x) = 2x^4 + x^3 - 3x^2 + 7x - 8\)，求 \(g(1)\) 的值。
同样地，我们先列出系数序列：\[b_4 = 2, b_3 = 1, b_2 = -3, b_1 = 7, b_0 = -8\]。
然后执行以下步骤：
1. 设初始值 \(w = 2\)
2. 按顺序更新 \(w\)：
\[
w = w \cdot 1 + 1 = 3
\]
\[
w = w \cdot 1 - 3 = 0
\]
\[
w = w \cdot 1 + 7 = 7
\]
\[
w = w \cdot 1 - 8 = -1
\]
所以 \(g(1) = -1\)。
练习题
1. 计算 \(h(x) = x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 4x^2 + 5x - 6\) 在 \(x = 3\) 处的值。
2. 确定 \(k(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1\) 当 \(x = -2\) 时的结果。
通过这些习题，我们可以更好地掌握秦九韶算法的应用技巧，并能够在实际问题中灵活运用此方法简化多项式的求值过程。希望这些练习能够帮助大家巩固相关知识！
