一、学习目标

1. 理解平面直角坐标系的基本概念及其在数学中的应用。

2. 掌握两点间距离公式的推导过程及实际运用。

3. 能够灵活运用两点间距离公式解决几何问题。

二、知识回顾

1. 平面直角坐标系：由两条互相垂直的数轴组成，通常称为x轴和y轴，它们交于原点O(0, 0)。每个点的位置可以用一对有序实数(x, y)来表示。

2. 勾股定理：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

三、新知探究

假设在平面直角坐标系中有两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们如何计算这两点之间的距离？

1. 构造直角三角形

- 过点A作平行于y轴的直线，过点B作平行于x轴的直线，这两条直线相交于点C。

- 此时，△ABC是一个直角三角形，其中∠ACB = 90°。

2. 应用勾股定理

- 根据勾股定理，有：

\[

AB^2 = AC^2 + BC^2

\]

- 其中：

- \( AC = |x_2 - x_1| \)

- \( BC = |y_2 - y_1| \)

3. 推导公式

将上述结果代入勾股定理公式，得到：

\[

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

\]

四、公式应用

例题：已知点A(2, 3)和点B(5, 7)，求两点间的距离。

解：

\[

AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

\]

五、练习巩固

1. 已知点P(-1, 2)和点Q(3, -4)，求PQ的距离。

2. 在平面直角坐标系中，若点M(a, b)与点N(c, d)的距离为5，且a = 1, c = 4，求b和d的关系。

六、课堂小结

通过本节课的学习，我们掌握了平面直角坐标系中两点间距离公式的推导方法及其应用技巧。希望同学们能够熟练运用这一公式解决实际问题。

七、课后作业

完成教材第XX页习题第X-X题，并思考以下问题：

- 若两点间的距离为0，说明了什么？

- 是否存在两个不同的点，它们的距离为0？为什么？

以上内容旨在帮助学生系统地理解并掌握平面直角坐标系中两点间距离公式的相关知识，同时培养其解决问题的能力。