在数学分析中，无穷级数是研究函数性质和解决实际问题的重要工具之一。然而，并非所有的无穷级数都具有相同的特性。根据其部分和序列的极限是否存在，我们可以将无穷级数分为两类：收敛级数与发散级数。

首先，让我们来探讨一下收敛级数的概念。一个无穷级数如果它的部分和序列存在且有限，则称该级数为收敛级数。例如，几何级数就是一个典型的收敛级数的例子。对于形如a+ar+ar²+...+arn的几何级数来说，只要公比|r|<1，那么这个级数就会收敛到a/(1-r)。另一个例子是调和级数的一个变形——p-级数（即1/n^p形式的级数），当p>1时，此级数也是收敛的。

接下来我们来看看发散级数的情况。当一个级数的部分和序列不存在或趋于无穷大时，我们就说这个级数是发散的。最简单的发散级数莫过于自然数的倒数组成的调和级数：1+1/2+1/3+...+1/n，随着n趋向于无穷大，这个级数的值也会趋向于无穷大，因此它是发散的。此外，还有一些级数虽然看起来可能收敛但实际上却是发散的，比如交错级数1-1+1-1+...，尽管每一项都在交替变化，但由于没有明确的趋势向某个特定值靠近，所以它也是发散的。

了解了这些基本概念之后，我们还需要注意的是，在处理具体的问题时，判断一个级数是否收敛往往需要运用一些高级的方法和技术，如比较判别法、积分判别法以及阿贝尔判别法等。同时，即使一个级数被认为是发散的，它也可能通过某种方式被重新定义或者解析延拓，从而获得有意义的结果，这在物理学和工程学等领域有着广泛的应用。

总之，研究收敛与发散级数不仅有助于加深对数学理论的理解，而且还能帮助我们在现实生活中更好地解决问题。无论是自然界中的波动现象还是金融市场的风险评估，都离不开对级数行为的研究。因此，掌握好这一领域的知识对于我们每个人来说都是非常有价值的。