北师大版九年级数学上册练习题及答案：一元二次方程
在九年级的数学学习中，一元二次方程是一个重要的知识点。它不仅是代数的基础之一，也是解决实际问题的重要工具。本篇文章将围绕北师大版九年级数学上册中的相关内容，提供一些精选的练习题，并附上详细的解答过程。
一、基础知识回顾
首先，让我们回顾一下一元二次方程的基本形式和解法。一般地，一元二次方程的标准形式为：
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
其中，\(a\)、\(b\)、\(c\) 是已知常数，且 \(a \neq 0\)。根据判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\) 的值，我们可以判断方程的根的情况：
- 当 \(\Delta > 0\) 时，方程有两个不相等的实数根；
- 当 \(\Delta = 0\) 时，方程有两个相等的实数根；
- 当 \(\Delta < 0\) 时，方程没有实数根。
常用的解法包括公式法、配方法和因式分解法。掌握这些基本概念和方法是解决问题的关键。
二、练习题精选
接下来，我们来看几道典型的练习题：
例题1
解方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
解析
这是一个可以直接使用因式分解法求解的方程。我们将方程分解为：
\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]
因此，方程的两个解为：
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = 3 \]
例题2
解方程：\[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \]
解析
这里我们可以使用公式法来求解。根据公式法，方程的解为：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
代入 \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -2\)，得到：
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} \]
\[ x = \frac{-3 \pm 5}{4} \]
因此，方程的两个解为：
\[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \]
例题3
若关于 \(x\) 的方程 \(x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0\) 有两个相等的实数根，求 \(m\) 的值。
解析
根据题意，方程有两个相等的实数根，说明判别式 \(\Delta = 0\)。计算判别式：
\[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 1) \]
\[ \Delta = 4m^2 - 4(m^2 - 1) \]
\[ \Delta = 4m^2 - 4m^2 + 4 \]
\[ \Delta = 4 \]
令 \(\Delta = 0\)，得到：
\[ 4 = 0 \]
显然，这是不可能的。因此，题目可能存在错误或遗漏信息。
三、总结与反思
通过以上练习题的解答，我们可以看到，一元二次方程的解法多样且灵活。熟练掌握各种解法，并能根据具体情况选择合适的方法，是提高解题效率的关键。希望同学们在日常学习中多加练习，不断巩固和提升自己的数学能力。
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