在概率论与数理统计的学习过程中，中心极限定理是一个非常重要的理论。它揭示了大量独立随机变量和的分布会趋向于正态分布这一规律。为了更好地理解这一理论的实际应用，我们通过一些典型的习题来加深对它的认识。

例题一：硬币抛掷问题

假设一枚均匀的硬币被抛掷100次，每次正面出现的概率为0.5。求在这100次抛掷中，恰好有60次正面出现的概率。

解答步骤：

1. 确定随机变量的分布：每次抛掷硬币的结果可以看作是一个伯努利试验，其中正面为成功（概率p=0.5），反面为失败。设X为100次抛掷中正面出现的次数，则X服从二项分布B(100, 0.5)。

2. 应用中心极限定理：由于n较大（n=100），我们可以近似认为X服从正态分布N(np, np(1-p))。这里np=50, np(1-p)=25，因此X近似服从N(50, 25)。

3. 标准化处理：将X标准化为标准正态分布Z=(X-μ)/σ。对于X=60，有Z=(60-50)/sqrt(25)=2。

4. 查表计算概率：根据标准正态分布表，P(Z≤2)≈0.9772。因此，P(X=60)≈P(59.5

例题二：产品合格率问题

某工厂生产的产品中有90%是合格品。从这批产品中随机抽取100件进行检测，求至少有95件合格品的概率。

解答步骤：

1. 定义随机变量：设Y为100件产品中合格品的数量，则Y服从二项分布B(100, 0.9)。

2. 应用中心极限定理：由于n较大且p接近1，Y近似服从正态分布N(np, np(1-p))。这里np=90, np(1-p)=9，因此Y近似服从N(90, 9)。

3. 标准化处理：将Y标准化为标准正态分布Z=(Y-μ)/σ。对于Y≥95，有Z=(95-90)/sqrt(9)=1.67。

4. 查表计算概率：根据标准正态分布表，P(Z≥1.67)≈1-P(Z≤1.67)≈1-0.9525=0.0475。

通过以上两个例子，我们可以看到中心极限定理在解决实际问题中的强大作用。它不仅简化了复杂的概率计算过程，还提供了有效的近似方法。希望这些习题能够帮助大家更好地理解和掌握中心极限定理的相关知识。