在初中数学的学习过程中，平面直角坐标系是一个非常重要的知识点。它不仅是几何学的基础，也是解决许多实际问题的重要工具。特别是在七年级下学期的学习中，平面直角坐标系的综合应用往往成为考试中的难点和重点。今天，我们就来探讨一道与平面直角坐标系相关的压轴题。

题目描述

在一个平面直角坐标系中，已知点A（3,4），点B（-1,2）。直线l通过点A且垂直于线段AB。求直线l的方程，并判断点C（5,-1）是否位于直线l上。

解题思路

第一步：确定线段AB的方向向量

首先，我们需要计算线段AB的方向向量。点A的坐标为（3,4），点B的坐标为（-1,2）。因此，线段AB的方向向量可以表示为：

\[

\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (-1 - 3, 2 - 4) = (-4, -2)

\]

第二步：求直线l的法向量

由于直线l垂直于线段AB，所以直线l的法向量就是线段AB的方向向量。因此，直线l的法向量为 \((-4, -2)\)。

第三步：写出直线l的方程

根据点法式方程，我们可以写出直线l的方程为：

\[

-4(x - x_0) - 2(y - y_0) = 0

\]

将点A（3,4）代入方程，得到：

\[

-4(x - 3) - 2(y - 4) = 0

\]

化简后，直线l的方程为：

\[

-4x + 12 - 2y + 8 = 0

\]

进一步整理，得到：

\[

-4x - 2y + 20 = 0

\]

或者可以写成标准形式：

\[

2x + y = 10

\]

第四步：判断点C是否在直线l上

将点C（5,-1）的坐标代入直线l的方程 \(2x + y = 10\) 中，进行验证：

\[

2(5) + (-1) = 10

\]

计算结果为10，等于右侧常数项，因此点C在直线l上。

总结

通过以上步骤，我们成功地求出了直线l的方程，并验证了点C是否在直线上。这道题目不仅考察了学生对平面直角坐标系的理解，还涉及到了向量、点法式方程等知识点的综合运用。希望同学们在平时的学习中多加练习，掌握这些基础知识，为未来的数学学习打下坚实的基础。

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