在数学领域中，行列式是一个重要的概念，它不仅在代数理论中有广泛应用，还与几何、物理等领域紧密相连。本文将深入探讨行列式的展开式公式，并尝试以一种更加直观和易于理解的方式呈现这一经典内容。

什么是行列式？

行列式是定义于方阵的一种特殊标量值函数。对于一个n×n的矩阵A，其行列式记作det(A)或|A|。行列式的本质在于衡量矩阵所代表线性变换对空间体积的影响程度。当行列式的值为零时，意味着该变换是奇异的（不可逆），反之则表示非奇异（可逆）。

行列式的展开方式

按行展开

设A=[aij]是一个n阶方阵，则A关于第i行元素的代数余子式定义为：

Cij=(-1)^(i+j)Mij

其中Mij是去掉第i行第j列后剩余部分形成的(n-1)阶子式。

根据这一定义，我们可以写出按第i行展开的行列式公式：

det(A)=a11C11+a12C12+...+a1nC1n

按列展开

类似地，也可以选择按某一列来展开行列式。如果选择第j列，则对应的公式为：

det(A)=aj1Cj1+aj2Cj2+...+ajnCjn

应用实例分析

为了更好地理解上述理论，让我们通过一个具体的例子来观察如何计算行列式。

假设我们有一个3×3矩阵A如下所示：

A = | 456 |

| 789 |

|10 11 12|

首先，按照第一行展开行列式：

det(A) = 4 C11 - 5 C12 + 6 C13

接下来分别计算每个代数余子式C11, C12, C13：

C11=(-1)^(1+1)|89|

|11 12|=812-911=-3

C12=(-1)^(1+2)|79|

|10 12|=-712+910=6

C13=(-1)^(1+3)|78|

|10 11|=711-810=-3

因此，

det(A) = 4(-3) - 5(6) + 6(-3)

= -12 - 30 - 18

= -60

总结

行列式的展开式公式提供了一种系统化的方法来计算任意大小的方阵的行列式。尽管直接记忆公式可能较为困难，但通过逐步分解并结合具体案例进行练习，可以逐渐掌握这种方法。此外，行列式的概念及其应用远超出了本文所能涵盖的内容范围，希望读者能够进一步探索这一领域的更多奥秘。