在运筹学中，对偶理论和灵敏度分析是两个非常重要的概念。它们不仅帮助我们理解线性规划问题的本质，还提供了优化决策的实用工具。本文将通过一个典型的例题来展示如何利用对偶问题和灵敏度分析解决实际问题。
例题背景
假设某工厂生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗不同的资源（如原材料、劳动力等）。工厂的目标是最小化总成本，同时满足市场需求。已知以下信息：
- 每单位产品A的成本为3元，每单位产品B的成本为5元。
- 生产产品A和B分别需要消耗1个单位的资源X和2个单位的资源Y；生产产品B还需要额外消耗1个单位的资源Z。
- 已知资源X、Y和Z的可用量分别为100、150和50单位。
我们需要确定生产计划以最小化总成本，并且分析当资源或市场价格发生变化时，最优解的变化情况。
数学模型
设x表示生产的产品A的数量，y表示生产的产品B的数量，则该问题可以建模为如下线性规划问题：
目标函数：
\[ \text{Minimize } Z = 3x + 5y \]
约束条件：
\[
\begin{aligned}
& x + 2y \leq 100 \quad (\text{资源X}) \\
& y \leq 150 \quad (\text{资源Y}) \\
& y \leq 50 \quad (\text{资源Z}) \\
& x, y \geq 0
\end{aligned}
\]
求解原问题
使用单纯形法或其他算法求解上述线性规划问题，得到最优解为：
\[ x^ = 50, \quad y^ = 25 \]
对应的最小化成本为：
\[ Z^ = 3(50) + 5(25) = 150 + 125 = 275 \]
构造对偶问题
根据对偶理论，我们可以构造该问题的对偶问题。对偶问题的形式如下：
目标函数：
\[ \text{Maximize } W = 100u_1 + 150u_2 + 50u_3 \]
约束条件：
\[
\begin{aligned}
& u_1 + u_3 \leq 3 \quad (\text{对应产品A的成本}) \\
& 2u_1 + u_2 + u_3 \leq 5 \quad (\text{对应产品B的成本}) \\
& u_1, u_2, u_3 \geq 0
\end{aligned}
\]
求解对偶问题
同样使用单纯形法或其他算法求解对偶问题，得到最优解为：
\[ u_1^ = 3, \quad u_2^ = 0, \quad u_3^ = 0 \]
对应的最大化收益为：
\[ W^ = 100(3) + 150(0) + 50(0) = 300 \]
灵敏度分析
资源变化的影响
如果资源X的可用量增加到120单位，重新计算对偶变量 \( u_1 \)，发现其值保持不变，说明增加的资源不会影响最优解。类似地，对于其他资源的变化，可以通过重新求解对偶问题来评估其影响。
成本变化的影响
如果产品A的成本从3元增加到4元，重新求解原问题，发现最优解可能发生变化。通过比较新的最优解与旧的最优解，可以评估成本变化对生产计划的具体影响。
结论
通过对偶问题和灵敏度分析，我们不仅能够找到线性规划问题的最优解，还能深入了解资源和成本变化对解决方案的影响。这种方法在实际应用中具有广泛的适用性和强大的实用性。
以上内容通过具体实例详细介绍了对偶问题及灵敏度分析的应用方法，希望对读者有所帮助。
