2011中考数学真题解析58：平均数、中位数、众数、方差与极差
在初中数学的学习过程中，统计学部分是一个重要的知识点模块，其中平均数、中位数、众数、方差和极差是衡量数据集中趋势及离散程度的核心概念。这些知识点不仅在日常生活中有着广泛的应用，也是中考数学试卷中的常客。本文将通过一道典型的中考真题，详细解析如何运用这些统计量解决问题。
题目如下：
某班级学生的身高（单位：cm）数据如下：
150, 155, 160, 165, 170, 175, 180
请分别计算该组数据的平均数、中位数、众数、方差以及极差，并简要说明其含义。
解析过程
1. 计算平均数
平均数是指一组数据的总和除以数据个数，公式为：
$$
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
$$
代入数据：
$$
\bar{x} = \frac{150 + 155 + 160 + 165 + 170 + 175 + 180}{7} = 165 \, \text{cm}
$$
因此，平均数为 165 cm。
2. 确定中位数
中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数值。若数据个数为奇数，则中位数为第 $\frac{n+1}{2}$ 个数；若为偶数，则为中间两个数的平均值。
本题数据已按顺序排列，共有 7 个数据，因此中位数为第 4 个数：
$$
\text{中位数} = 165 \, \text{cm}
$$
3. 寻找众数
众数是指数据中出现次数最多的数值。观察数据可知，每个数值仅出现一次，因此该组数据没有明显的众数。
4. 计算方差
方差用于衡量数据的离散程度，公式为：
$$
s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}
$$
先计算每个数据与平均数的偏差平方：
$$
(150-165)^2 = 225, \, (155-165)^2 = 100, \, (160-165)^2 = 25, \, (165-165)^2 = 0, \, (170-165)^2 = 25, \, (175-165)^2 = 100, \, (180-165)^2 = 225
$$
求和并代入公式：
$$
s^2 = \frac{225 + 100 + 25 + 0 + 25 + 100 + 225}{7} = 100
$$
因此，方差为 100 cm²。
5. 计算极差
极差是指数据中最大值与最小值之差，公式为：
$$
R = \max(x) - \min(x)
$$
代入数据：
$$
R = 180 - 150 = 30 \, \text{cm}
$$
因此，极差为 30 cm。
总结
通过对以上数据的分析，我们可以得出以下结论：
- 平均数反映了整体水平；
- 中位数体现了数据分布的中心位置；
- 该组数据无明显众数；
- 方差表明数据的波动幅度较大；
- 极差直观展示了数据的最大范围。
这类问题需要考生熟练掌握统计量的概念及其计算方法，同时能够结合实际情境进行合理解读。希望本文的解析能帮助同学们更好地应对类似题目！
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