在高等数学的学习过程中，定积分是一个非常重要的概念，它不仅在理论研究中占有核心地位，而且在实际应用中也发挥着不可替代的作用。本篇将通过一些典型的习题来探讨定积分的应用，并给出详细的解答过程。

习题一：求曲边梯形的面积

已知函数f(x) = x^2 + 1，在区间[0, 2]上，求由曲线y=f(x)，直线x=0，x=2以及x轴围成的曲边梯形的面积。

解答：

根据定积分的几何意义，所求面积为：

S = ∫[0,2] (x^2 + 1) dx

计算这个定积分：

S = [x^3/3 + x] from 0 to 2

代入上下限：

S = [(2^3)/3 + 2] - [(0^3)/3 + 0]

S = [8/3 + 2] - [0]

S = 14/3

因此，该曲边梯形的面积为14/3平方单位。

习题二：计算旋转体体积

假设有一条曲线y=x^3，从x=0到x=1绕x轴旋转一周形成的旋转体，求其体积。

解答：

利用旋转体体积公式V=π∫[a,b] [f(x)]^2 dx，其中f(x)=x^3，a=0，b=1。

V = π∫[0,1] (x^3)^2 dx

V = π∫[0,1] x^6 dx

计算积分：

V = π[x^7/7] from 0 to 1

代入上下限：

V = π[(1^7)/7 - (0^7)/7]

V = π/7

所以，该旋转体的体积为π/7立方单位。

以上两个例子展示了定积分在解决实际问题中的强大功能。通过这些练习，我们可以更好地理解和掌握定积分的基本原理及其应用技巧。希望同学们能够在实践中不断加深对这些知识的理解和运用能力。