在数学的学习与应用中，积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握一些常用的积分公式，能够帮助我们更高效地解决实际问题。以下是一些在数学分析中经常用到的积分公式，供参考和学习。
一、基本初等函数的积分
1. 常数函数
$$
\int a \, dx = ax + C \quad (a \text{ 为常数})
$$
2. 幂函数
$$
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
3. 指数函数
$$
\int e^x \, dx = e^x + C
$$
$$
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \ne 1)
$$
4. 对数函数
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
$$
$$
\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C
$$
5. 三角函数
$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$
$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$
$$
\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C
$$
$$
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
$$
二、有理函数的积分
1. 分式函数
$$
\int \frac{1}{x-a} \, dx = \ln |x - a| + C
$$
2. 多项式除法后的分式
若分子次数高于分母，可先进行多项式除法再积分。
三、反三角函数的积分
1. $$
\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C
$$
2. $$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C
$$
四、特殊函数的积分
1. 正弦与余弦的乘积
$$
\int \sin(ax) \cos(bx) \, dx = \frac{\sin((a-b)x)}{2(a-b)} + \frac{\sin((a+b)x)}{2(a+b)} + C \quad (a \ne b)
$$
2. 指数与三角函数的乘积
可使用分部积分法求解，例如：
$$
\int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \sin bx - b \cos bx) + C
$$
五、定积分的一些重要性质
1. 线性性
$$
\int_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx
$$
2. 区间可加性
$$
\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx
$$
3. 对称性
若 $ f(x) $ 是偶函数，则：
$$
\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx
$$
若 $ f(x) $ 是奇函数，则：
$$
\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0
$$
六、不定积分与定积分的关系（牛顿—莱布尼茨公式）
设 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
结语
掌握这些常见的积分公式，有助于提高解题效率和理解积分在实际问题中的应用。虽然有些公式需要通过分部积分、换元法或特殊技巧来推导，但熟悉它们的基本形式是学习微积分的重要一步。建议在实际应用中多练习、多总结，逐步提升自己的积分能力。
