导数是高中数学中非常重要的一个知识点，它不仅是函数性质研究的基础，也是解决实际问题的重要工具。掌握导数的定义、计算方法以及应用，对于提高数学成绩和培养逻辑思维能力具有重要意义。
为了帮助同学们更好地理解和巩固导数的相关知识，本文整理了一套适合高一或高二学生的导数训练题，并附有详细解答，便于大家在学习过程中进行自我检测与提升。
一、导数的基本概念
1. 求函数 $ f(x) = x^2 + 3x - 5 $ 的导数。
解析：
根据导数的定义，$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $，但更简便的是利用基本求导法则：
$$
f'(x) = 2x + 3
$$
2. 已知函数 $ f(x) = \sqrt{x} $，求其导数。
解析：
$$
f(x) = x^{1/2} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
$$
二、导数的运算规则
3. 求函数 $ f(x) = (2x + 1)^3 $ 的导数。
解析：
使用链式法则：
$$
f'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2
$$
4. 求函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的导数。
解析：
使用商数法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2}
$$
化简得：
$$
f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
$$
三、导数的应用
5. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值点。
解析：
首先求导：
$$
f'(x) = 3x^2 - 3
$$
令导数为零：
$$
3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1
$$
再判断极值：
- 当 $ x < -1 $，$ f'(x) > 0 $，函数递增；
- 当 $ -1 < x < 1 $，$ f'(x) < 0 $，函数递减；
- 当 $ x > 1 $，$ f'(x) > 0 $，函数递增。
因此，$ x = -1 $ 是极大值点，$ x = 1 $ 是极小值点。
6. 设函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $，求其在区间 $[0, 4]$ 上的最大值和最小值。
解析：
先求导：
$$
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
$$
令导数为零：
$$
3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1, 3
$$
计算端点与临界点处的函数值：
- $ f(0) = 0 $
- $ f(1) = 1 - 6 + 9 = 4 $
- $ f(3) = 27 - 54 + 27 = 0 $
- $ f(4) = 64 - 96 + 36 = 4 $
所以最大值为 4（在 $ x = 1 $ 和 $ x = 4 $ 处），最小值为 0（在 $ x = 0 $ 和 $ x = 3 $ 处）。
四、综合练习题
7. 已知函数 $ f(x) = x^2 e^x $，求其导数。
8. 求曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线方程。
9. 函数 $ f(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数是多少？
10. 设函数 $ f(x) = \sin(2x) $，求其在 $ x = \frac{\pi}{4} $ 处的导数值。
参考答案
1. $ f'(x) = 2x + 3 $
2. $ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
3. $ f'(x) = 6(2x + 1)^2 $
4. $ f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} $
5. 极大值点：$ x = -1 $；极小值点：$ x = 1 $
6. 最大值：4；最小值：0
7. $ f'(x) = 2x e^x + x^2 e^x = e^x (x^2 + 2x) $
8. 切线方程：$ y = 0 $（即水平线）
9. $ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} $
10. $ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $
通过这些题目，希望同学们能够加深对导数的理解，并在实践中不断积累经验。导数的学习是一个循序渐进的过程，建议多做题、多总结，逐步提升自己的数学素养。
