【北师大版数学九年级上册第一单元测试题】一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 5 $
B. $ x^2 + 3x = 0 $
C. $ 2x + y = 7 $
D. $ \frac{1}{x} + 3 = 0 $
2. 方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解是（ ）
A. $ x = 1 $ 或 $ x = 3 $
B. $ x = -1 $ 或 $ x = -3 $
C. $ x = 2 $ 或 $ x = 2 $
D. 无实数解
3. 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 是一元二次方程，则必须满足（ ）
A. $ a \neq 0 $
B. $ b \neq 0 $
C. $ c \neq 0 $
D. $ a + b + c \neq 0 $
4. 方程 $ (x - 2)^2 = 9 $ 的解为（ ）
A. $ x = 5 $
B. $ x = -1 $
C. $ x = 5 $ 或 $ x = -1 $
D. 无解
5. 用配方法解方程 $ x^2 - 6x + 5 = 0 $，配方后得到的形式是（ ）
A. $ (x - 3)^2 = 4 $
B. $ (x - 3)^2 = 5 $
C. $ (x - 3)^2 = 9 $
D. $ (x - 3)^2 = 14 $
6. 方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则 $ x_1 + x_2 = $（ ）
A. $ p $
B. $ -p $
C. $ q $
D. $ -q $
7. 若方程 $ x^2 + 2x + k = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ k $ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 一个矩形的长比宽多2米，面积为24平方米，设宽为 $ x $ 米，则可列出的方程为（ ）
A. $ x(x + 2) = 24 $
B. $ x(x - 2) = 24 $
C. $ x^2 + 2 = 24 $
D. $ x^2 = 24 $
9. 若方程 $ x^2 + mx + n = 0 $ 的两根互为相反数，则 $ m $ 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
10. 已知方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则 $ x_1^2 + x_2^2 = $（ ）
A. 13
B. 15
C. 17
D. 19
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 方程 $ 3x^2 - 5x + 2 = 0 $ 的判别式为 ______。
12. 若方程 $ x^2 + 6x + a = 0 $ 有实数根，则 $ a $ 的取值范围是 ______。
13. 方程 $ (x + 1)(x - 3) = 0 $ 的解是 ______。
14. 一元二次方程 $ 2x^2 - 4x + 1 = 0 $ 的根为 ______。
15. 若 $ x_1 $、$ x_2 $ 是方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 的两个根，则 $ x_1 x_2 = $ ______。
三、解答题（共50分）
16. 解下列方程：（每小题10分，共20分）
（1）$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
（2）$ 2x^2 + 3x - 2 = 0 $
17. 已知方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，求：
（1）$ x_1 + x_2 $；
（2）$ x_1 x_2 $；
（3）$ x_1^2 + x_2^2 $。（10分）
18. 某校要建一个长方形花坛，其周长为20米，面积为24平方米。求这个花坛的长和宽各是多少？（10分）
19. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + (k - 2)x + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根，求 $ k $ 的值。（10分）
参考答案（供教师使用）
一、选择题
1. B
2. A
3. A
4. C
5. A
6. B
7. A
8. A
9. A
10. A
二、填空题
11. 1
12. $ a \leq 9 $
13. $ x = -1 $ 或 $ x = 3 $
14. $ x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} $
15. 2
三、解答题
16.（1）$ x = 2 $ 或 $ x = 3 $；（2）$ x = \frac{1}{2} $ 或 $ x = -2 $
17.（1）4；（2）3；（3）10
18. 长为6米，宽为4米
19. $ k = 0 $ 或 $ k = 4 $
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说明：本试卷依据北师大版数学九年级上册第一单元内容编写，适用于课堂检测或课后练习。
