【第九讲（Black-Scholes及资产定价模型）】在金融衍生品的定价理论中，Black-Scholes 模型无疑是一个里程碑式的成果。它不仅为欧式期权的定价提供了数学上的严谨框架，也为现代金融工程的发展奠定了坚实的基础。本讲将围绕 Black-Scholes 模型的核心思想、基本假设、推导过程以及实际应用进行深入探讨。
一、模型的基本背景
Black-Scholes 模型由 Fischer Black 和 Myron Scholes 于 1973 年提出，并由 Robert Merton 进一步完善，因此也被称为 Black-Scholes-Merton 模型。该模型首次成功地将随机过程应用于金融资产价格的建模，使得期权等衍生品的定价从经验判断转向了数学分析。
二、模型的基本假设
为了构建一个有效的期权定价模型，Black-Scholes 做出了若干关键假设：
1. 市场无摩擦：不存在交易成本、税收和卖空限制。
2. 资产价格服从几何布朗运动：股票价格的变化可以用随机微分方程来描述。
3. 无风险利率恒定且已知：市场中存在一个固定的无风险利率。
4. 期权为欧式期权：只能在到期日行权。
5. 没有套利机会：市场是完全有效的，不存在无风险获利的机会。
6. 股票分红为零：不考虑股息支付对股价的影响。
这些假设虽然在现实中并不完全成立，但它们为模型提供了一个简洁而有力的理论基础。
三、模型的核心公式
Black-Scholes 模型的核心公式用于计算欧式看涨期权的价格，其形式如下：
$$
C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)
$$
其中：
- $ C $ 是看涨期权的价格；
- $ S_0 $ 是标的资产当前价格；
- $ K $ 是期权的执行价格；
- $ r $ 是无风险利率；
- $ T $ 是到期时间；
- $ N(\cdot) $ 是标准正态分布的累积分布函数；
- $ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} $
- $ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} $
对于看跌期权，可以通过欧式期权的对称性进行转换。
四、模型的推导思路
Black-Scholes 模型的推导基于“风险中性定价”原则。通过构造一个由标的资产和期权组成的无风险组合，利用伊藤引理（Ito’s Lemma）对随机过程进行处理，最终得到一个偏微分方程。该方程在边界条件和初始条件下求解后，即得到期权的解析解。
这一方法不仅揭示了期权价格与标的资产价格、波动率、时间等因素之间的关系，也为后续的数值方法（如蒙特卡洛模拟、有限差分法）提供了理论依据。
五、模型的实际应用与局限性
尽管 Black-Scholes 模型在理论上具有高度的优雅性和实用性，但在实际应用中仍存在一定的局限性：
- 波动率假设：模型假定波动率为常数，但现实中波动率是随时间变化的，这导致模型在某些情况下可能高估或低估期权价值。
- 市场非理性行为：模型依赖于市场有效性的假设，但在现实市场中，投资者情绪、政策变化等因素会影响资产价格。
- 适用范围有限：模型主要适用于欧式期权，对美式期权等复杂衍生品需要额外调整。
然而，Black-Scholes 模型仍然是金融工程领域的重要工具之一，广泛应用于期权定价、风险管理、投资组合优化等多个方面。
六、总结
Black-Scholes 资产定价模型不仅是金融学中的经典之作，也是现代金融理论发展的基石。它通过数学建模的方式，将金融市场的不确定性转化为可计算的概率问题，为金融衍生品的定价提供了科学依据。尽管模型本身存在一定的局限性，但其影响深远，至今仍在金融实践中发挥着重要作用。
