【高二数学《选修2-1》课后习题参考答案】在高中数学的学习过程中，《选修2-1》作为一门重要的课程，涵盖了圆锥曲线、空间向量与立体几何等内容，是学生提升数学思维能力和逻辑推理能力的重要阶段。为了帮助同学们更好地理解和掌握知识点，以下是对该教材课后习题的参考答案和部分典型题目的解析。
一、圆锥曲线部分
例题1：求椭圆的标准方程
题目描述：已知一个椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，焦距为4，长轴长为10，求其标准方程。
解析：
椭圆的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
其中，$ a $ 是长半轴，$ b $ 是短半轴，焦距为 $ 2c $，且满足关系式 $ c^2 = a^2 - b^2 $。
根据题意，长轴长为10，所以 $ 2a = 10 $，即 $ a = 5 $；焦距为4，即 $ 2c = 4 $，所以 $ c = 2 $。
代入公式：
$$
c^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow 2^2 = 5^2 - b^2 \Rightarrow 4 = 25 - b^2 \Rightarrow b^2 = 21
$$
因此，椭圆的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{21} = 1
$$
二、空间向量与立体几何部分
例题2：已知向量 $ \vec{a} = (1, 2, 3) $，$ \vec{b} = (-1, 0, 2) $，求 $ \vec{a} \cdot \vec{b} $
解析：
向量的点积公式为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
代入数值：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (2)(0) + (3)(2) = -1 + 0 + 6 = 5
$$
三、典型问题解析
例题3：设直线 $ l $ 的方向向量为 $ \vec{v} = (2, -1, 3) $，点 $ A(1, 2, -1) $ 在直线上，写出直线 $ l $ 的参数方程。
解析：
直线的参数方程形式为：
$$
\begin{cases}
x = x_0 + t v_x \\
y = y_0 + t v_y \\
z = z_0 + t v_z
\end{cases}
$$
其中 $ (x_0, y_0, z_0) $ 是直线上一点，$ (v_x, v_y, v_z) $ 是方向向量。
代入数据得：
$$
\begin{cases}
x = 1 + 2t \\
y = 2 - t \\
z = -1 + 3t
\end{cases}
$$
四、学习建议
1. 注重基础概念的理解：如椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程。
2. 多做练习题：通过反复练习加深对公式的记忆和应用能力。
3. 结合图形理解抽象尤其是空间向量和立体几何部分，画图有助于直观理解。
4. 及时总结错题：分析错误原因，避免重复犯错。
通过系统地复习和练习，同学们可以逐步掌握《选修2-1》中的核心知识点，为后续的数学学习打下坚实的基础。希望以上解析能对大家的学习有所帮助！
