【第12讲导数的应用教案】一、教学目标

1. 理解导数在函数单调性分析中的作用，掌握利用导数判断函数增减性的方法。

2. 掌握极值的定义及求法，能够运用导数求解函数的极值点。

3. 理解曲线的凹凸性与拐点的概念，并能通过二阶导数进行判断。

4. 培养学生运用导数解决实际问题的能力，提升数学建模意识。

二、教学重点与难点

- 重点：

- 利用导数判断函数的单调性；

- 求函数的极值；

- 曲线的凹凸性与拐点的判定。

- 难点：

- 极值点与驻点的关系；

- 凹凸性与二阶导数之间的联系；

- 实际问题中导数应用的转化与建模。

三、教学过程设计

1. 新课导入（5分钟）

通过生活中的实例引入导数的应用，如：汽车行驶速度的变化、利润随产量变化的趋势等，激发学生兴趣，引出导数在研究函数性质中的重要性。

2. 知识讲解（30分钟）

（1）函数的单调性与导数

- 单调递增与递减的条件：

设函数 $ f(x) $ 在区间 $ I $ 上可导，则：

- 若 $ f'(x) > 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ I $ 上单调递增；

- 若 $ f'(x) < 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ I $ 上单调递减。

- 例题解析：

分析函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调性，求其导数并判断区间内的增减情况。

（2）函数的极值

- 极值的定义：

若函数在某点附近取得最大或最小值，则该点称为极值点。

- 极值的判定方法：

- 一阶导数法：若 $ f'(x_0) = 0 $，且在 $ x_0 $ 两侧导数符号发生变化，则 $ x_0 $ 为极值点；

- 二阶导数法：若 $ f''(x_0) > 0 $，则 $ x_0 $ 为极小值点；若 $ f''(x_0) < 0 $，则 $ x_0 $ 为极大值点。

- 例题解析：

求函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $ 的极值点，并判断是极大值还是极小值。

（3）曲线的凹凸性与拐点

- 凹凸性的定义：

- 若 $ f''(x) > 0 $，则曲线在该区间上凹；

- 若 $ f''(x) < 0 $，则曲线在该区间上凸。

- 拐点的定义：

曲线凹凸性发生改变的点称为拐点。

- 例题解析：

分析函数 $ f(x) = x^4 - 4x^3 $ 的凹凸性，并找出拐点。

3. 巩固练习（15分钟）

- 完成课本相关习题，巩固单调性、极值、凹凸性的判断方法。

- 小组讨论：如何利用导数分析实际问题中的最优化问题（如成本最小化、利润最大化等）。

4. 课堂小结（5分钟）

- 回顾本节课所学内容，强调导数在研究函数性质中的重要作用。

- 提醒学生注意极值点与驻点的区别，以及凹凸性与二阶导数的关系。

四、作业布置

1. 完成教材第12讲的相关练习题；

2. 预习下一讲“导数在实际问题中的应用”，思考如何用导数解决最优化问题。

五、教学反思

本节课通过理论讲解与例题分析相结合的方式，帮助学生理解导数在函数性质分析中的具体应用。在后续教学中应加强实际问题的引导，提升学生的综合应用能力。

注：本教案为原创内容，根据教学实际需要进行调整和补充。