【追及和相遇问题典型例题分析x】在物理学中，追及与相遇问题是运动学中的一个重点内容，尤其在直线运动中较为常见。这类问题通常涉及两个或多个物体在同一时间、同一地点或不同时间、不同地点的相对运动关系，常用于考查学生对匀速、匀变速运动规律的理解以及对图像、公式等工具的应用能力。
一、基本概念
1. 追及问题：指的是一个物体（如A）以一定的速度追赶另一个物体（如B），当两者到达同一位置时即为“追上”或“追及”。
2. 相遇问题：指的是两个物体在运动过程中，在某一时刻同时到达同一位置，称为“相遇”。
这两种问题虽然有所不同，但本质上都涉及到运动物体之间的相对位置和时间关系，因此解题方法有相通之处。
二、解题思路
解决追及与相遇问题的核心是建立物理模型，明确各物体的运动状态，并利用位移、速度、时间的关系进行分析。常见的解题步骤如下：
1. 确定参考系：通常选择地面作为参考系。
2. 写出各物体的运动方程：包括初速度、加速度、位移等参数。
3. 设定条件：根据题目要求，设定追及或相遇的时间点或位置点。
4. 列方程求解：通过联立方程找出未知数。
5. 验证合理性：检查结果是否符合实际物理意义。
三、典型例题分析
例题1：匀速追及问题
题目：甲车以10 m/s的速度匀速行驶，乙车从静止开始以2 m/s²的加速度做匀加速直线运动，甲车在乙车前方50米处。问：乙车需要多长时间才能追上甲车？
解析：
- 设乙车追上甲车所需时间为t秒。
- 甲车的位移为：$ x_甲 = v_甲 \cdot t = 10t $
- 乙车的位移为：$ x_乙 = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = t^2 $
由于甲车在乙车前50米，所以当乙车追上甲车时，有：
$$
x_乙 = x_甲 + 50
$$
代入得：
$$
t^2 = 10t + 50
$$
整理为标准二次方程：
$$
t^2 - 10t - 50 = 0
$$
解得：
$$
t = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 200}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{300}}{2}
$$
$$
t = \frac{10 \pm 10\sqrt{3}}{2} = 5 \pm 5\sqrt{3}
$$
取正值：
$$
t = 5(1 + \sqrt{3}) \approx 13.66 \, \text{s}
$$
结论：乙车大约在13.66秒后追上甲车。
例题2：相遇问题
题目：A车以8 m/s的速度向东行驶，B车从静止开始以3 m/s²的加速度向东行驶，初始时A车在B车前方30米。问：两车何时相遇？
解析：
- A车的位移：$ x_A = 8t $
- B车的位移：$ x_B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot t^2 = 1.5t^2 $
当两车相遇时，有：
$$
x_A = x_B + 30
$$
代入得：
$$
8t = 1.5t^2 + 30
$$
整理为：
$$
1.5t^2 - 8t + 30 = 0
$$
两边乘以2消去小数：
$$
3t^2 - 16t + 60 = 0
$$
解得：
$$
t = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 60}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 720}}{6}
$$
$$
t = \frac{16 \pm \sqrt{-464}}{6}
$$
由于判别式小于零，说明没有实数解，即两车不会相遇。
结论：两车不会相遇。
四、总结
追及与相遇问题的关键在于理解物体之间的相对运动关系，并正确应用运动学公式进行建模和计算。在实际考试中，此类问题常结合图像法、图象分析法等综合手段进行考察。掌握好这些方法，有助于提升解题效率和准确性。
提示：在学习过程中，建议多画运动示意图，理清物体之间的相对位置变化，并注意单位统一与物理量的合理选取。
