【常微分方程第三版课后习题答案】在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识、提升解题能力的重要环节。对于《常微分方程》第三版的教材，许多学生在学习过程中都会遇到一些难以独立解决的问题，尤其是在求解一阶线性方程、可分离变量方程、齐次方程、恰当方程以及高阶线性微分方程等类型时，往往需要参考详细的解答过程。
为了帮助广大学生更好地掌握这门课程的核心内容，本文将对部分典型习题进行分析与解答，旨在提供一种清晰、系统的解题思路，并帮助读者理解背后的数学原理。
一、一阶微分方程的求解
例题： 求解微分方程 $ y' = \frac{y}{x} + x $。
分析：
该方程为一阶线性微分方程，标准形式为：
$$
y' + P(x)y = Q(x)
$$
将原式变形为：
$$
y' - \frac{1}{x}y = x
$$
其中 $ P(x) = -\frac{1}{x} $，$ Q(x) = x $。
求解步骤：
1. 计算积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}
$$
2. 两边乘以积分因子：
$$
\frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = 1
$$
3. 左边变为导数形式：
$$
\left( \frac{y}{x} \right)' = 1
$$
4. 积分得：
$$
\frac{y}{x} = x + C \Rightarrow y = x^2 + Cx
$$
二、可分离变量方程的处理
例题： 解方程 $ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} $。
分析：
该方程属于可分离变量型，可以将变量分开后积分。
解法：
$$
\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}
$$
两边积分得：
$$
\ln |y| = \ln |x| + C \Rightarrow y = Cx
$$
三、高阶线性微分方程的通解
例题： 求解 $ y'' + 4y = 0 $。
分析：
这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，特征方程为：
$$
r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2i
$$
因此，通解为：
$$
y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)
$$
四、非齐次方程的特解求法
例题： 解方程 $ y'' + y = \cos x $。
分析：
特征方程为 $ r^2 + 1 = 0 $，对应齐次解为 $ y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x $。
由于非齐次项为 $ \cos x $，而 $ \cos x $ 是齐次方程的解，因此使用待定系数法时需乘以 $ x $，设特解为：
$$
y_p = x(A \cos x + B \sin x)
$$
代入原方程求出 $ A $ 和 $ B $，最终得到通解：
$$
y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x(-\frac{1}{2} \cos x)
$$
总结
通过对《常微分方程》第三版中部分课后习题的详细分析与解答，可以看出，掌握基本的微分方程类型及其解法是学好这门课程的关键。建议同学们在做题时注重理解每一步的逻辑关系，同时多加练习，提高解题技巧和数学思维能力。
如需更多习题详解或具体章节的内容解析，欢迎继续关注本系列文章。
