【高等数学竞赛试题含答案】在众多数学竞赛中，高等数学竞赛以其严谨的逻辑性与广泛的覆盖面，成为检验学生数学能力的重要方式。这类竞赛不仅考察学生的计算能力，更注重对数学概念的理解、抽象思维的运用以及解题技巧的掌握。本文将提供一套“高等数学竞赛试题含答案”，帮助学习者进行系统复习与自我检测。

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 设函数 $ f(x) = \frac{1}{x} + \ln x $，则其导数为（ ）

A. $ -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} $

B. $ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} $

C. $ -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} $

D. $ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} $

2. 计算极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} $ 的值为（ ）

A. $ 0 $

B. $ \frac{1}{6} $

C. $ -\frac{1}{6} $

D. $ \infty $

3. 若 $ \int_0^1 f(x) dx = 3 $，且 $ f(x) $ 是偶函数，则 $ \int_{-1}^{1} f(x) dx $ 等于（ ）

A. 3

B. 6

C. 0

D. 不确定

4. 设 $ z = x^2 + y^2 $，则 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 在点 $ (1, 2) $ 处的值为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题（每题5分，共20分）

5. 函数 $ f(x) = e^{-x^2} $ 在区间 $ [0, 1] $ 上的定积分约为 ______（保留两位小数）。

6. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 ______。

7. 设 $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $，则级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 的敛散性为 ______。

8. 若 $ \vec{a} = (1, 2, 3) $，$ \vec{b} = (4, 5, 6) $，则向量积 $ \vec{a} \times \vec{b} = $ ______。

三、解答题（每题15分，共60分）

9. 求函数 $ f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1} $ 的极值，并判断是极大值还是极小值。

10. 计算不定积分 $ \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} dx $。

11. 证明：若 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，在 $ (a, b) $ 内可导，且 $ f'(x) > 0 $，则 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上单调递增。

12. 设 $ f(x) = \int_0^x \sin t \, dt $，求 $ f''(x) $。

四、附加题（10分）

13. 设 $ f(x) $ 是周期为 $ 2\pi $ 的函数，满足 $ f(x + \pi) = -f(x) $，试求 $ f(x) $ 的傅里叶级数展开式。

参考答案

一、选择题

1. A

2. C

3. B

4. D

二、填空题

5. 0.74

6. -3

7. 无法确定

8. $ (-3, 6, -3) $

三、解答题

9. 极小值为 0，极大值不存在。

10. $ \sqrt{x^2 + 1} + C $

11. 由拉格朗日中值定理可知，存在 $ c \in (a, b) $，使得 $ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) $，由于 $ f'(c) > 0 $，故 $ f(b) > f(a) $，即函数单调递增。

12. $ f''(x) = -\sin x $

四、附加题

13. 傅里叶级数为 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx $。

通过这套“高等数学竞赛试题含答案”，考生可以全面检验自己的知识掌握情况，提升解题速度与准确率。建议在考试前反复练习，结合教材与参考资料深入理解每一个知识点。