【复合函数的定义域是怎么确定的】在数学中，复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。例如，若函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是定义在实数集上的函数，那么它们的复合函数可以表示为 $ f(g(x)) $ 或 $ g(f(x)) $。复合函数的定义域是所有使得内部函数和外部函数都能有意义的输入值的集合。
为了准确确定复合函数的定义域，需要考虑以下几个关键点：
一、复合函数的定义域确定步骤
1. 确定内层函数的定义域
复合函数 $ f(g(x)) $ 的内层函数是 $ g(x) $，因此首先要找出 $ g(x) $ 的定义域。
2. 确定外层函数对输入的要求
外层函数是 $ f(x) $，它对输入有特定的要求（如不能为零、不能为负数等），所以要找出 $ f(x) $ 的定义域。
3. 将内层函数的输出限制到外层函数的定义域内
即找出满足 $ g(x) $ 在其定义域内的所有 $ x $ 值，并且这些 $ g(x) $ 的值也必须落在 $ f(x) $ 的定义域内。
4. 最终定义域是上述条件的交集
所以，复合函数 $ f(g(x)) $ 的定义域是满足 $ x \in D_g $ 且 $ g(x) \in D_f $ 的所有 $ x $ 的集合。
二、总结表格
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定内层函数 $ g(x) $ 的定义域 $ D_g $ |
| 2 | 确定外层函数 $ f(x) $ 的定义域 $ D_f $ |
| 3 | 找出所有 $ x $ 满足 $ g(x) \in D_f $ |
| 4 | 复合函数 $ f(g(x)) $ 的定义域为 $ \{x \mid x \in D_g \text{ 且 } g(x) \in D_f\} $ |
三、示例分析
例1：
设 $ f(x) = \sqrt{x} $，$ g(x) = x^2 - 4 $
- $ f(x) $ 的定义域是 $ x \geq 0 $
- $ g(x) $ 的定义域是全体实数
- 要求 $ g(x) \geq 0 $，即 $ x^2 - 4 \geq 0 $ → $ x \leq -2 $ 或 $ x \geq 2 $
- 所以 $ f(g(x)) $ 的定义域是 $ (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $
例2：
设 $ f(x) = \frac{1}{x} $，$ g(x) = \ln(x) $
- $ f(x) $ 的定义域是 $ x \neq 0 $
- $ g(x) $ 的定义域是 $ x > 0 $
- 要求 $ \ln(x) \neq 0 $ → $ x \neq 1 $
- 所以 $ f(g(x)) $ 的定义域是 $ (0, 1) \cup (1, +\infty) $
四、注意事项
- 若内层函数的输出范围与外层函数的定义域无交集，则复合函数无意义。
- 定义域的确定需要结合函数的具体形式，不可一概而论。
- 可通过画图或代数方法辅助判断复合函数的定义域。
通过以上步骤和方法，可以系统地确定复合函数的定义域，避免因忽略某些条件而导致计算错误。
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