【量子力学所有的计算公式】量子力学是研究微观粒子运动规律的理论体系，其核心内容由一系列数学公式构成。这些公式不仅描述了粒子的行为，还揭示了能量、动量、位置等物理量之间的关系。以下是对量子力学中主要计算公式的总结，并以表格形式展示。
一、基础概念与公式
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $ \hat{H} \psi = E \psi $ | 薛定谔方程（时间无关） | 描述量子系统在稳定状态下的能量和波函数关系 |
| $ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \psi(\mathbf{r}, t) $ | 薛定谔方程（时间相关） | 描述量子态随时间演化的动态过程 |
| $ \hat{p} = -i\hbar \nabla $ | 动量算符 | 粒子动量在量子力学中的表示形式 |
| $ \hat{x} = x $ | 位置算符 | 粒子位置的量子力学表示 |
| $ \langle A \rangle = \int \psi^ \hat{A} \psi dV $ | 物理量的期望值 | 计算某个可观测量的平均值 |
| $ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar $ | 对易关系 | 位置与动量的不确定性原理基础 |
二、波函数与概率解释
| 公式 | 名称 | 说明 | ||
| $ | \psi(x) | ^2 $ | 概率密度 | 表示粒子在某点出现的概率 |
| $ \int | \psi(x) | ^2 dx = 1 $ | 归一化条件 | 波函数必须满足的概率总和为1 |
| $ \psi(x,t) = e^{-iEt/\hbar} \phi(x) $ | 分离变量解 | 时间相关的波函数可分解为时间和空间部分 |
三、角动量与自旋
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $ \hat{L} = \mathbf{r} \times \hat{p} $ | 角动量算符 | 描述粒子绕轴旋转的动量 |
| $ \hat{L}^2 \psi = \hbar^2 l(l+1)\psi $ | 角动量平方本征值 | 与角动量量子数 $ l $ 相关 |
| $ \hat{L}_z \psi = m\hbar \psi $ | z方向角动量本征值 | 与磁量子数 $ m $ 相关 |
| $ \hat{S} = \frac{1}{2}\hbar \sigma $ | 自旋算符 | 描述电子等粒子的内禀角动量 |
四、不确定性原理
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} $ | 测不准原理 | 位置与动量不能同时精确测量 |
| $ \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} $ | 能量与时间的不确定性 | 能量与时间的测量也存在限制 |
五、矩阵力学与算符代数
| 公式 | 名称 | 说明 | ||
| $ \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} = [\hat{A}, \hat{B}] $ | 对易子 | 描述两个算符不交换时的差异 | ||
| $ \text{Tr}(\hat{\rho}) = 1 $ | 密度矩阵归一化 | 描述混合态的统计性质 | ||
| $ \hat{\rho} = \sum_i p_i | \psi_i\rangle \langle \psi_i | $ | 密度矩阵 | 描述多态系统的概率分布 |
六、谐振子模型
| 公式 | 名称 | 说明 |
| $ H = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 x^2 $ | 谐振子哈密顿量 | 描述简谐振动系统的能量 |
| $ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega $ | 能级公式 | 量子化后的能量值 |
| $ a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} (x + \frac{i}{m\omega} \hat{p}) $ | 降算符 | 用于求解能级的简化工具 |
| $ a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} (x - \frac{i}{m\omega} \hat{p}) $ | 升算符 | 与降算符互为共轭 |
七、散射与跃迁
| 公式 | 名称 | 说明 | ||
| $ T_{fi} = \langle f | V | i \rangle $ | 散射幅 | 描述粒子从初始态到末态的跃迁概率 |
| $ S_{fi} = \delta_{fi} - 2\pi i T_{fi} $ | S矩阵 | 描述散射过程中初态与末态的关系 | ||
| $ W_{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} | T_{fi} | ^2 \delta(E_f - E_i) $ | 跃迁速率 | 描述系统发生跃迁的概率率 |
八、相对论性量子力学
| 全称 | 公式 | 说明 |
| 狄拉克方程 | $ (i\hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc)\psi = 0 $ | 描述相对论性粒子的波动方程 |
| 费曼路径积分 | $ K(x_f, t_f; x_i, t_i) = \int \mathcal{D}[x] e^{iS[x]/\hbar} $ | 用所有可能路径的贡献计算概率幅 |
总结
量子力学的公式体系涵盖了从基本假设到具体应用的各个方面，包括波函数、算符、对易关系、不确定性原理、角动量、谐振子、散射理论等多个方面。这些公式构成了现代物理学的基础，广泛应用于原子物理、凝聚态物理、粒子物理和量子信息等领域。通过理解这些公式，可以深入掌握量子世界的运行规律。
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