【极限常用的9个公式】在数学分析中，极限是一个非常基础且重要的概念，广泛应用于微积分、函数分析等领域。掌握一些常见的极限公式，可以帮助我们更高效地解决相关问题。以下是极限中常用的9个公式，结合文字说明和表格形式进行总结。
一、常见极限公式总结
1. 基本极限公式
当 $ x \to a $ 时，若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都存在极限，则：
- $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) $
- $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) $
- $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} $（当分母不为0时）
2. 常数极限
$ \lim_{x \to a} C = C $，其中 $ C $ 是常数。
3. 多项式极限
$ \lim_{x \to a} (x^n) = a^n $，其中 $ n $ 是整数。
4. 指数函数极限
$ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $
5. 三角函数极限
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $
6. 对数函数极限
$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 $
7. 自然对数与指数的极限关系
$ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a $，其中 $ a > 0 $
8. 无穷小量与无穷大量比较
$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，表明 $ \sin x $ 与 $ x $ 在 $ x \to 0 $ 时是等价无穷小。
9. 重要极限
$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $
二、常用极限公式一览表
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 1 | $ \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) $ | 极限的加法法则 |
| 2 | $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) $ | 极限的乘法法则 |
| 3 | $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} $ | 极限的除法法则 |
| 4 | $ \lim_{x \to a} C = C $ | 常数的极限 |
| 5 | $ \lim_{x \to a} x^n = a^n $ | 多项式的极限 |
| 6 | $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $ | 指数函数的极限 |
| 7 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | 三角函数的极限 |
| 8 | $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $ | 余弦函数的极限 |
| 9 | $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $ | 重要极限 |
三、总结
以上9个公式涵盖了极限的基本运算规则以及一些经典的重要极限，是学习微积分和高等数学的基础内容。在实际应用中，灵活运用这些公式可以大大简化计算过程，并提高解题效率。建议在学习过程中多加练习，逐步掌握其使用方法和适用条件。
以上就是【极限常用的9个公式】相关内容，希望对您有所帮助。
