【tan三角函数公式大全】在数学中，tan（正切）是三角函数中最常用的一种，常用于解决与角度和边长相关的问题。tan函数的定义为直角三角形中对边与邻边的比值。掌握tan函数的相关公式，有助于快速解题和深入理解三角函数的性质。以下是对tan三角函数常见公式的总结，并以表格形式进行整理，便于查阅和记忆。
一、基本定义
| 公式 | 说明 |
| $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ | 正切等于正弦与余弦的比值 |
| $ \tan\theta = \frac{对边}{邻边} $ | 在直角三角形中，对边与邻边的比值 |
二、特殊角度的tan值
| 角度（°） | 弧度（rad） | tanθ |
| 0° | 0 | 0 |
| 30° | $ \frac{\pi}{6} $ | $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ |
| 45° | $ \frac{\pi}{4} $ | 1 |
| 60° | $ \frac{\pi}{3} $ | $ \sqrt{3} $ |
| 90° | $ \frac{\pi}{2} $ | 无定义（∞） |
三、诱导公式（角度变换）
| 公式 | 说明 |
| $ \tan(-\theta) = -\tan\theta $ | 奇函数性质 |
| $ \tan(\pi - \theta) = -\tan\theta $ | 第二象限的正切值为负 |
| $ \tan(\pi + \theta) = \tan\theta $ | 第三象限的正切值与原角相同 |
| $ \tan(2\pi - \theta) = -\tan\theta $ | 第四象限的正切值为负 |
| $ \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta $ | 与余切函数的关系 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ | 两角和的正切公式 |
| $ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ | 两角差的正切公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 两倍角的正切公式 |
| $ \tan(3\theta) = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta} $ | 三倍角的正切公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ | 半角的正切表达式之一 |
| $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 半角的正切表达式之二 |
七、反函数（反正切）
| 公式 | 说明 |
| $ \arctan x = \theta $，其中 $ x = \tan\theta $ | 反正切函数的定义 |
| $ \arctan x + \arctan y = \arctan\left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) $（当 $ xy < 1 $） | 反正切的加法公式 |
八、其他重要关系
| 公式 | 说明 |
| $ \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta $ | 与余割函数的关系 |
| $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} $ | 用正弦表示正切 |
| $ \tan\theta = \frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos\theta} $ | 用余弦表示正切 |
通过以上表格和文字的整理，我们可以系统地掌握tan三角函数的各种公式和应用方式。这些公式不仅适用于基础的三角问题，也广泛应用于微积分、物理、工程等领域。建议在学习过程中结合图形和实际例子来加深理解，提高解题效率。
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