【欧拉函数的计算公式】在数论中，欧拉函数（Euler's Totient Function）是一个非常重要的函数，通常用符号 φ(n) 表示。它表示的是小于或等于 n 的正整数中，与 n 互质的数的个数。欧拉函数在密码学、数论以及计算机科学中有广泛应用。
欧拉函数的定义
对于任意正整数 n，φ(n) 是满足以下条件的正整数个数：
- 1 ≤ k ≤ n
- gcd(k, n) = 1
其中，gcd 表示最大公约数。
欧拉函数的计算可以通过以下两种方式实现：
1. 素因数分解法
如果已知 n 的素因数分解形式为：
$$
n = p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}
$$
那么欧拉函数的计算公式为：
$$
\phi(n) = n \cdot \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_m}\right)
$$
2. 递推法（适用于小范围计算）
对于较小的 n 值，可以直接通过遍历所有小于 n 的正整数并计算其与 n 的最大公约数来求得 φ(n)。
欧拉函数的计算实例（表格展示）
| n | 素因数分解 | φ(n) 计算公式 | φ(n) 值 |
| 1 | — | — | 1 |
| 2 | 2^1 | 2 × (1 - 1/2) | 1 |
| 3 | 3^1 | 3 × (1 - 1/3) | 2 |
| 4 | 2^2 | 4 × (1 - 1/2) | 2 |
| 5 | 5^1 | 5 × (1 - 1/5) | 4 |
| 6 | 2×3 | 6 × (1 - 1/2)(1 - 1/3) | 2 |
| 7 | 7^1 | 7 × (1 - 1/7) | 6 |
| 8 | 2^3 | 8 × (1 - 1/2) | 4 |
| 9 | 3^2 | 9 × (1 - 1/3) | 6 |
| 10 | 2×5 | 10 × (1 - 1/2)(1 - 1/5) | 4 |
总结
欧拉函数 φ(n) 是一个用于统计与 n 互质的正整数数量的重要工具。它的计算方法主要依赖于 n 的素因数分解，也可以通过直接遍历计算。掌握欧拉函数的计算公式和应用，有助于理解数论中的许多基本概念，并为后续学习如模运算、RSA 加密等提供理论基础。
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