【超几何分布的期望和方差公式】在概率论与数理统计中，超几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在不放回抽样中，成功次数的概率分布。它常用于从有限总体中进行抽样时，计算某类元素被抽取的次数。
一、超几何分布的基本概念
设一个总体中包含 $ N $ 个个体，其中 $ K $ 个是“成功”个体，其余 $ N - K $ 个为“失败”个体。从中随机抽取 $ n $ 个个体（不放回），则抽到的“成功”个体数 $ X $ 服从超几何分布，记作：
$$
X \sim \text{Hypergeometric}(N, K, n)
$$
其概率质量函数为：
$$
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}
$$
其中 $ k = \max(0, n - (N - K)), \dots, \min(n, K) $
二、期望与方差公式
超几何分布的期望和方差是衡量其集中趋势和离散程度的重要指标，具体如下：
| 项目 | 公式 | 说明 |
| 期望（均值） | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ | 表示在 $ n $ 次抽样中，平均能抽到的成功次数 |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ | 描述抽到成功次数的波动情况 |
三、公式解释
- 期望：期望值类似于概率乘以样本数量。当从总体中抽样时，每个个体被抽中的概率是 $ \frac{K}{N} $，因此在 $ n $ 次抽样中，期望成功的次数就是 $ n \times \frac{K}{N} $。
- 方差：方差不仅与抽样次数和成功概率有关，还受到“有限总体修正因子”的影响，即 $ \frac{N - n}{N - 1} $。这个因子表示在不放回抽样中，随着样本量增大，方差会减小，因为样本之间的相关性增加。
四、总结
超几何分布广泛应用于实际问题中，如质量检测、市场调研等。了解其期望和方差有助于我们更好地预测和分析抽样结果的稳定性与集中趋势。通过掌握这些公式，可以更准确地评估实验或调查的结果。
| 名称 | 公式 |
| 期望 | $ E(X) = n \cdot \frac{K}{N} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1 - \frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
如需进一步探讨超几何分布的应用场景或与其他分布（如二项分布）的比较，可继续深入研究。
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