【二次函数配方法例题】在初中和高中数学中，二次函数是一个重要的知识点，而“配方法”是求解二次函数顶点、对称轴以及图像性质的重要工具。掌握配方法不仅有助于理解二次函数的图像特征，还能为后续学习一元二次方程、不等式等内容打下坚实基础。
以下是一些典型的二次函数配方法例题及其解答过程，通过总结与表格形式呈现，便于理解和复习。
一、配方法的基本思路
配方法是将一个一般的二次函数表达式 $ y = ax^2 + bx + c $ 转化为顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的过程。其核心思想是通过配方，使二次项和一次项组合成一个完全平方的形式。
二、典型例题及解析
| 题号 | 原始函数 | 配方步骤 | 顶点式 | 顶点坐标 |
| 1 | $ y = x^2 + 4x + 3 $ | $ x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4 $ 所以 $ y = (x+2)^2 - 4 + 3 = (x+2)^2 - 1 $ | $ y = (x+2)^2 - 1 $ | $ (-2, -1) $ |
| 2 | $ y = x^2 - 6x + 5 $ | $ x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9 $ 所以 $ y = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4 $ | $ y = (x-3)^2 - 4 $ | $ (3, -4) $ |
| 3 | $ y = 2x^2 + 8x + 7 $ | 提取系数：$ 2(x^2 + 4x) + 7 $ $ x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4 $ 所以 $ y = 2[(x+2)^2 - 4] + 7 = 2(x+2)^2 - 8 + 7 = 2(x+2)^2 - 1 $ | $ y = 2(x+2)^2 - 1 $ | $ (-2, -1) $ |
| 4 | $ y = 3x^2 - 12x + 10 $ | 提取系数：$ 3(x^2 - 4x) + 10 $ $ x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4 $ 所以 $ y = 3[(x-2)^2 - 4] + 10 = 3(x-2)^2 - 12 + 10 = 3(x-2)^2 - 2 $ | $ y = 3(x-2)^2 - 2 $ | $ (2, -2) $ |
| 5 | $ y = -x^2 + 2x + 1 $ | 提取负号：$ -(x^2 - 2x) + 1 $ $ x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1 $ 所以 $ y = -[(x-1)^2 - 1] + 1 = -(x-1)^2 + 1 + 1 = -(x-1)^2 + 2 $ | $ y = -(x-1)^2 + 2 $ | $ (1, 2) $ |
三、总结
通过以上例题可以看出，配方法的关键在于：
1. 提取公因数（当二次项系数不为1时）；
2. 构造完全平方（将一次项与常数项结合）；
3. 调整常数项，确保整体表达式不变。
掌握这些步骤后，能够快速地将一般式转化为顶点式，从而准确找到抛物线的顶点、对称轴和开口方向等信息。
如需进一步练习或深入理解二次函数的其他性质（如图像变换、根的计算等），建议结合图象进行分析，以增强直观理解。
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