【所有正余弦公式】在三角函数的学习中，正弦（sin）和余弦（cos）是最基础且最重要的两个函数。它们不仅在数学中广泛应用，也在物理、工程、计算机科学等多个领域中发挥着重要作用。为了帮助学习者更好地掌握这些公式，以下是对所有常见的正余弦公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本定义公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，正弦为对边与斜边的比值 |
| $\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，余弦为邻边与斜边的比值 |
二、诱导公式（角度变换）
| 公式 | 说明 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 正弦是奇函数 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 余弦是偶函数 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 互补角的正弦值相等 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 互补角的余弦值相反 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 周期性变化后的正弦值 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 周期性变化后的余弦值 |
三、同角三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 同角的基本恒等式 |
| $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 正切与正弦、余弦的关系 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 正切与正割的关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 余切与余割的关系 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦的和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ | 正弦的二倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ | 余弦的二倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦的另一种二倍角表达式 |
| $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ | 余弦的第三种二倍角表达式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 正弦乘余弦的积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 余弦乘余弦的积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 正弦乘正弦的积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦的和化积 |
| $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 正弦的差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦的和化积 |
| $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 余弦的差化积 |
九、反三角函数相关公式
| 公式 | 说明 |
| $\arcsin(\sin\theta) = \theta$ | 反正弦函数与正弦函数互为反函数（在定义域内） |
| $\arccos(\cos\theta) = \theta$ | 反余弦函数与余弦函数互为反函数（在定义域内） |
十、常见角度的正余弦值表
| 角度（°） | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ |
| 0° | 0 | 1 |
| 30° | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 60° | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| 90° | 1 | 0 |
通过以上总结，可以系统地掌握正余弦函数的各种公式及其应用。在实际问题中，灵活运用这些公式能够有效简化计算过程，提高解题效率。建议在学习过程中结合图形理解，加深记忆与应用能力。
以上就是【所有正余弦公式】相关内容，希望对您有所帮助。
