【黄金分割法】黄金分割法是一种在数学、艺术、建筑和工程等领域广泛应用的优化方法，尤其在单变量函数的最优化问题中具有重要地位。它通过不断缩小搜索区间来逼近最优解，具有计算简单、收敛速度快等特点。本文将对黄金分割法的基本原理、步骤及优缺点进行总结，并以表格形式清晰展示其关键内容。
一、黄金分割法简介
黄金分割法（Golden Section Search）是一种用于寻找单峰函数极值点的数值优化方法。该方法基于黄金分割比例（约为0.618），通过不断缩小区间范围，逐步逼近最优解。与二分法相比，黄金分割法在每次迭代中只减少一个固定比例的区间长度，因此效率更高。
二、基本原理
黄金分割法的核心思想是：在一个已知的区间 [a, b] 内，选择两个对称点 x₁ 和 x₂，使得它们之间的距离符合黄金分割比例。通过比较这两个点的函数值，可以确定最优解所在的子区间，从而逐步缩小搜索范围。
黄金分割比为：
$$
\phi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618
$$
三、算法步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定初始区间 [a, b]，并设定精度 ε |
| 2 | 计算两个内部点：x₁ = b - φ(b - a)，x₂ = a + φ(b - a) |
| 3 | 计算 f(x₁) 和 f(x₂) |
| 4 | 比较 f(x₁) 与 f(x₂) 的大小 |
| 5 | 若 f(x₁) < f(x₂)，则保留区间 [a, x₂]；否则保留 [x₁, b] |
| 6 | 重复步骤 2-5，直到区间长度小于 ε |
四、优点与缺点
| 优点 | 缺点 |
| 不需要求导，适用于不可导函数 | 对于多变量函数不适用 |
| 收敛速度快，计算量小 | 需要预先知道函数是单峰的 |
| 实现简单，易于编程 | 不能保证找到全局最优解 |
五、应用场景
| 领域 | 应用示例 |
| 数学优化 | 单变量函数的最小值/最大值查找 |
| 工程设计 | 结构优化、参数调整 |
| 艺术与建筑 | 图形布局、美学比例设计 |
| 金融投资 | 最大化收益或最小化风险 |
六、总结
黄金分割法是一种高效、实用的单变量优化方法，广泛应用于多个领域。其核心在于利用黄金分割比例不断缩小搜索区间，从而快速逼近最优解。尽管存在一定的局限性，如仅适用于单峰函数等，但其简单性和良好的收敛性能使其成为优化算法中的经典方法之一。
表：黄金分割法关键信息汇总
| 项目 | 内容 |
| 方法名称 | 黄金分割法 |
| 核心比例 | φ ≈ 0.618 |
| 适用类型 | 单变量、单峰函数 |
| 迭代方式 | 区间缩放，逐步逼近 |
| 优点 | 不需导数、收敛快、实现简单 |
| 缺点 | 仅适用于单峰函数、不能处理多变量问题 |
| 应用领域 | 数学、工程、艺术、金融等 |
