【傅里叶变换公式总结】傅里叶变换是信号处理、图像分析、物理等多个领域中非常重要的数学工具。它能够将一个函数从时域（或空域）转换到频域，从而揭示其频率成分。下面是对常见傅里叶变换公式的总结，便于快速查阅与理解。
一、基本概念
傅里叶变换的核心思想是：任何满足一定条件的函数都可以表示为不同频率正弦和余弦函数的线性组合。根据函数的性质（如周期性、连续性、离散性等），傅里叶变换可以分为几种形式：
- 连续时间傅里叶变换（CTFT）
- 离散时间傅里叶变换（DTFT）
- 离散傅里叶变换（DFT）
- 快速傅里叶变换（FFT）（DFT的高效算法）
二、常用傅里叶变换公式总结
| 类型 | 公式 | 变换定义域 | 应用场景 |
| 连续时间傅里叶变换（CTFT） | $ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt $ $ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} df $ | 连续时间信号 | 信号分析、系统响应分析 |
| 离散时间傅里叶变换（DTFT） | $ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} $ $ x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega $ | 离散时间信号 | 数字信号处理、滤波器设计 |
| 离散傅里叶变换（DFT） | $ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N} $ $ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j2\pi kn/N} $ | 有限长度离散信号 | 快速计算、数字信号处理 |
| 快速傅里叶变换（FFT） | 通过分治法优化DFT计算，复杂度从O(N²)降到O(N log N) | 有限长度离散信号 | 实时信号处理、音频分析 |
三、典型函数的傅里叶变换
| 函数 | 傅里叶变换 | 备注 |
| $ x(t) = 1 $ | $ X(f) = \delta(f) $ | 冲激函数在时域对应于常数函数在频域 |
| $ x(t) = e^{-at} u(t) $, $ a > 0 $ | $ X(f) = \frac{1}{a + j2\pi f} $ | 指数衰减信号 |
| $ x(t) = \cos(2\pi f_0 t) $ | $ X(f) = \frac{1}{2} [\delta(f - f_0) + \delta(f + f_0)] $ | 频域出现两个冲激 |
| $ x(t) = \text{rect}(t) $ | $ X(f) = \text{sinc}(f) $ | 矩形脉冲对应于sinc函数 |
| $ x[n] = \delta[n] $ | $ X(e^{j\omega}) = 1 $ | 单位脉冲在频域为常数 |
| $ x[n] = e^{j\omega_0 n} $ | $ X(e^{j\omega}) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - \omega_0 - 2\pi k) $ | 虚指数序列在频域为周期冲激 |
四、傅里叶变换的性质
| 性质 | 公式 | 说明 |
| 线性 | $ \mathcal{F}\{a x(t) + b y(t)\} = a X(f) + b Y(f) $ | 线性组合的傅里叶变换等于各部分的线性组合 |
| 时移 | $ \mathcal{F}\{x(t - t_0)\} = X(f) e^{-j2\pi f t_0} $ | 时域平移导致相位变化 |
| 频移 | $ \mathcal{F}\{x(t) e^{j2\pi f_0 t}\} = X(f - f_0) $ | 频域移动 |
| 对称性 | 若 $ x(t) $ 是实函数，则 $ X(-f) = X^(f) $ | 实信号的频谱共轭对称 |
| 卷积定理 | $ \mathcal{F}\{x(t) y(t)\} = X(f) Y(f) $ | 时域卷积等于频域乘积 |
五、小结
傅里叶变换是连接时域与频域的重要桥梁，不同的变换形式适用于不同的应用场景。掌握这些基本公式和性质，有助于深入理解信号的本质，并在实际工程中进行有效的信号分析与处理。
希望这份总结能帮助你更好地理解和应用傅里叶变换！
以上就是【傅里叶变换公式总结】相关内容，希望对您有所帮助。
