【已知二次函数】在数学中，二次函数是一个常见的函数类型，其形式为 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $。二次函数的图像是一个抛物线，根据系数 $ a $ 的正负，抛物线开口方向不同。本文将对已知二次函数的基本性质、图像特征以及相关计算方法进行总结。
一、基本概念
| 项目 | 内容 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax^2 + bx + c $（$ a \neq 0 $） |
| 图像 | 抛物线 |
| 开口方向 | 当 $ a > 0 $ 时，开口向上；当 $ a < 0 $ 时，开口向下 |
| 顶点坐标 | $ \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) $ |
| 对称轴 | 直线 $ x = -\frac{b}{2a} $ |
| 判别式 | $ \Delta = b^2 - 4ac $ |
二、关键性质
1. 定义域与值域
- 定义域：全体实数 $ \mathbb{R} $
- 值域：若 $ a > 0 $，则 $ y \geq f\left(-\frac{b}{2a}\right) $；若 $ a < 0 $，则 $ y \leq f\left(-\frac{b}{2a}\right) $
2. 根的个数
- 若 $ \Delta > 0 $，有两个不同的实数根
- 若 $ \Delta = 0 $，有一个实数根（重根）
- 若 $ \Delta < 0 $，无实数根（两个共轭复数根）
3. 与x轴的交点
- 根据判别式的不同，可能有0、1或2个交点
三、典型应用
| 应用场景 | 说明 |
| 最大值/最小值 | 顶点处取得最大值或最小值 |
| 实际问题建模 | 如运动轨迹、经济收益等 |
| 方程求解 | 解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ |
| 图像绘制 | 根据系数和顶点画出抛物线 |
四、示例分析
假设已知二次函数 $ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 $，则：
- 系数：$ a = 2 $, $ b = -4 $, $ c = 1 $
- 顶点横坐标：$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $
- 顶点纵坐标：$ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 $
- 对称轴：$ x = 1 $
- 判别式：$ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8 > 0 $，有两个实数根
- 根：$ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $
五、总结
二次函数是初中到高中阶段的重要内容，不仅在数学理论中有广泛应用，在物理、工程、经济学等领域也有实际意义。理解其图像特征、代数性质及实际应用，有助于提升数学思维能力和问题解决能力。通过表格形式整理知识点，可以更清晰地掌握其核心内容。
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