【向量积计算公式】在向量运算中，向量积（也称为叉积或外积）是一种重要的数学工具，常用于三维空间中的物理和工程问题中。向量积的结果是一个与原两个向量都垂直的向量，其方向由右手定则决定，大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
一、向量积的基本概念
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，其结果是一个新的向量，表示为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
通过展开行列式可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
二、向量积的性质总结
| 属性 | 描述 | ||||
| 结果类型 | 向量 | ||||
| 方向 | 垂直于 a 和 b 所在的平面，方向由右手定则确定 | ||||
| 大小 | a | b | sinθ，其中 θ 是两向量之间的夹角 | ||
| 交换律 | 不满足：a × b ≠ b × a，而是 a × b = - (b × a) | ||||
| 分配律 | 满足：a × (b + c) = a × b + a × c | ||||
| 与标量乘法 | (k a) × b = k (a × b) = a × (k b)，k 为实数 | ||||
| 零向量 | 若 a 和 b 共线，则 a × b = 0 |
三、向量积的计算步骤
1. 写出两个向量的坐标
如：a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)
2. 构建一个 3×3 的行列式
行列式形式如下：
$$
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
3. 按照行列式的展开规则进行计算
可以使用对角线法则或按行/列展开法。
4. 得到最终的向量结果
例如：(a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)
四、示例计算
设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，求 a × b
根据公式：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2×6 - 3×5)\mathbf{i} - (1×6 - 3×4)\mathbf{j} + (1×5 - 2×4)\mathbf{k}
$$
计算各项：
- i 分量：12 - 15 = -3
- j 分量：6 - 12 = -6 → 注意符号变化，应为 +6
- k 分量：5 - 8 = -3
因此，结果为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)
$$
五、总结
向量积是向量运算中的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。通过掌握其计算公式与性质，可以更有效地处理三维空间中的几何和物理问题。理解其方向性、大小关系以及运算规律，有助于提升实际应用能力。
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