【3阶矩阵的秩例题详解】在高等数学中，矩阵的秩是一个重要的概念，它反映了矩阵中线性无关行向量或列向量的最大数量。对于3阶矩阵来说，其秩的可能取值为0、1、2或3。本文通过几个典型例题，详细讲解如何求解3阶矩阵的秩，并以加表格的形式展示答案。

一、什么是矩阵的秩？

矩阵的秩（Rank）是指该矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大数目。换句话说，它是矩阵中非零子式的最高阶数。对于一个3×3的矩阵，其秩最大为3，最小为0。

二、例题解析

例题1：

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end{bmatrix}

$$

分析：

观察该矩阵，可以发现第二行是第一行的两倍加第三行的三分之一，说明行之间存在线性相关关系。进一步计算行列式：

$$

$$

由于行列式为0，说明矩阵的秩小于3。再检查是否有2阶非零子式，例如前两行前两列：

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 \\

4 & 5

\end{vmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3 \neq 0

$$

因此，矩阵的秩为2。

例题2：

$$

B = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

分析：

这是一个单位矩阵，所有行和列都是线性无关的。其行列式为1，不为0，说明秩为3。

例题3：

$$

C = \begin{bmatrix}

0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

分析：

这是一个全零矩阵，所有元素均为0，没有非零子式，因此秩为0。

例题4：

$$

D = \begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 4 & 6 \\

3 & 6 & 9

\end{bmatrix}

$$

分析：

观察可知，第二行是第一行的2倍，第三行是第一行的3倍，说明三行线性相关。计算行列式：

$$

$$

同样，行列式为0，秩小于3。再看前两行前两列：

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 \\

2 & 4

\end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0

$$

但若看前两行第一列和第二列：

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 \\

2 & 4

\end{vmatrix} = 0

$$

再尝试其他组合，如第一行第一列和第三行第三列：

$$

\begin{vmatrix}

1 & 3 \\

3 & 9

\end{vmatrix} = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 3 = 0

$$

最终发现只有1阶非零子式，因此秩为1。

三、总结与表格

四、小结

- 若矩阵的行列式不为0，则秩为3；

- 若行列式为0，需进一步检查是否存在2阶或1阶非零子式；

- 全零矩阵的秩为0；

- 线性相关的行或列会降低矩阵的秩。

掌握这些方法后，可以快速判断任意3阶矩阵的秩，为后续的线性方程组、特征值等问题打下基础。

以上就是【3阶矩阵的秩例题详解】相关内容，希望对您有所帮助。