【定积分分部积分公式】在微积分中，分部积分法是一种重要的计算方法，尤其适用于处理两个函数乘积的积分。对于不定积分，我们有分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
而在定积分中，该公式同样适用，只是需要考虑积分上下限的变化。本文将对定积分的分部积分公式进行总结，并以表格形式清晰展示其应用过程和注意事项。
一、定积分分部积分公式
设函数 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且它们的导数连续，则定积分的分部积分公式为：
$$
\int_a^b u(x) \, v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_a^b - \int_a^b v(x) \, u'(x) \, dx
$$
也可以写作：
$$
\int_a^b u \, dv = \left[ uv \right]_a^b - \int_a^b v \, du
$$
这个公式的核心思想是通过“交换”积分中的因子，使得原积分变得更容易计算。
二、使用步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 选择被积函数中的两个部分，分别设为 $ u $ 和 $ dv $。通常选择容易求导的函数作为 $ u $，容易积分的作为 $ dv $。 |
| 2 | 对 $ u $ 求导，得到 $ du $；对 $ dv $ 积分，得到 $ v $。 |
| 3 | 将 $ u $、$ v $、$ du $、$ dv $ 代入公式，计算右边的表达式。 |
| 4 | 注意积分上下限的代入，确保结果准确。 |
三、典型例题解析
例题1：
计算 $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx$
解法步骤：
| 步骤 | 内容 | |
| 1 | 设 $ u = x $，$ dv = \sin x \, dx $ | |
| 2 | 则 $ du = dx $，$ v = -\cos x $ | |
| 3 | 应用公式：$\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x \, dx $ | |
| 4 | 计算：$\left[ -x \cos x \right]_0^{\pi} = -\pi \cdot (-1) - 0 = \pi$，$\int_0^{\pi} \cos x \, dx = \sin x \big | _0^{\pi} = 0$ |
| 5 | 最终结果：$\pi + 0 = \pi$ |
四、注意事项
| 事项 | 说明 |
| 选择合适的 $ u $ 和 $ dv $ | 选择不当可能导致计算复杂化，甚至无法继续。 |
| 注意上下限的代入 | 定积分的分部积分公式中，必须将上下限代入到 $ uv $ 中。 |
| 可能需要多次分部积分 | 当一次分部后仍难以计算时，可能需要再次使用分部积分。 |
| 避免循环计算 | 如果出现循环，应尝试换一种 $ u $ 和 $ dv $ 的组合。 |
五、总结
定积分的分部积分公式是解决复杂积分问题的重要工具。通过合理选择 $ u $ 和 $ dv $，可以将一个难于直接计算的积分转化为更简单的形式。掌握这一方法不仅有助于提高计算效率，还能加深对积分本质的理解。建议多做练习，熟练掌握其应用场景与技巧。
