【二元函数判别式公式】在多元微积分中，二元函数的极值判断是一个重要的研究内容。对于二元函数 $ f(x, y) $，其极值点的判断通常需要借助二阶导数信息，而“二元函数判别式公式”正是用于这一目的的关键工具。
判别式公式通过计算函数在某一点的二阶偏导数，来判断该点是否为极值点（极大值、极小值）或鞍点。以下是对该公式的总结与相关概念的整理。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 二元函数 | 形如 $ f(x, y) $ 的函数，定义域为二维空间中的区域 |
| 极值点 | 函数在该点处取得局部最大值或最小值 |
| 驻点 | 一阶偏导数均为零的点，即 $ f_x = 0 $ 且 $ f_y = 0 $ |
| 二阶偏导数 | 包括 $ f_{xx} $、$ f_{xy} $、$ f_{yx} $、$ f_{yy} $ |
| 判别式 | 用于判断驻点性质的表达式，记作 $ D $ |
二、二元函数判别式公式
设 $ f(x, y) $ 在点 $ (x_0, y_0) $ 处可微，并且 $ f_x(x_0, y_0) = 0 $、$ f_y(x_0, y_0) = 0 $，即该点为驻点。则在该点处，二元函数的判别式公式为：
$$
D = f_{xx}(x_0, y_0) \cdot f_{yy}(x_0, y_0) - [f_{xy}(x_0, y_0)]^2
$$
其中：
- $ f_{xx} $：对 $ x $ 的二阶偏导数
- $ f_{yy} $：对 $ y $ 的二阶偏导数
- $ f_{xy} $：混合偏导数（先对 $ x $ 再对 $ y $）
三、判别式的应用与结论
根据判别式 $ D $ 的值，可以判断驻点的性质如下：
| 判别式 $ D $ 的值 | 结论 |
| $ D > 0 $ 且 $ f_{xx} > 0 $ | 该点为极小值点 |
| $ D > 0 $ 且 $ f_{xx} < 0 $ | 该点为极大值点 |
| $ D < 0 $ | 该点为鞍点 |
| $ D = 0 $ | 无法确定，需进一步分析 |
四、注意事项
1. 对称性：若 $ f_{xy} = f_{yx} $，则判别式计算更为简便。
2. 适用范围：该判别式仅适用于二元函数，不适用于更高维函数。
3. 局限性：当 $ D = 0 $ 时，判别式无法提供明确结论，可能需要使用其他方法（如泰勒展开或图形分析）进行判断。
五、示例说明
考虑函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 $，其一阶偏导数为：
$$
f_x = 2x,\quad f_y = 2y
$$
解得驻点为 $ (0, 0) $。二阶偏导数为：
$$
f_{xx} = 2,\quad f_{yy} = 2,\quad f_{xy} = 0
$$
代入判别式公式：
$$
D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
$$
由于 $ f_{xx} > 0 $，因此 $ (0, 0) $ 是一个极小值点。
六、总结
二元函数判别式公式是判断函数极值点的重要工具，通过计算二阶偏导数的组合形式，能够快速判断驻点的类型。尽管在某些情况下判别式无法给出明确结论，但它是处理二元函数极值问题的基础方法之一。掌握并正确应用该公式，有助于提高对多元函数行为的理解与分析能力。
