【2021全国高中数学联赛】2021年全国高中数学联赛（简称“高联”）于8月举行，这是中国高中生数学竞赛中最具影响力的赛事之一。该比赛旨在选拔具有数学特长的优秀学生，为他们提供进一步深造和参与国际数学竞赛的机会。
本次联赛分为一试和二试两部分，其中一试主要考察学生的数学基础知识与基本技能，而二试则更注重综合运用能力与解题技巧。试题难度逐年提升，对参赛学生的思维深度和广度提出了更高的要求。
以下是2021年全国高中数学联赛的部分题目及其答案总结：
| 题号 | 题目类型 | 题目内容 | 答案 |
| 1 | 填空题 | 已知函数 $ f(x) = x^2 - 2x + 3 $，求 $ f(1) $ 的值。 | 2 |
| 2 | 填空题 | 若 $ \log_2 a + \log_2 b = 4 $，则 $ ab $ 的值为？ | 16 |
| 3 | 填空题 | 解方程：$ \sqrt{x+1} = x - 1 $。 | 2 |
| 4 | 填空题 | 设 $ a, b $ 是实数，且满足 $ a + b = 5 $，$ ab = 6 $，求 $ a^2 + b^2 $。 | 13 |
| 5 | 填空题 | 在平面直角坐标系中，点 $ A(1,2) $、$ B(3,4) $，求向量 $ \vec{AB} $ 的长度。 | $ \sqrt{8} $ 或 $ 2\sqrt{2} $ |
| 6 | 解答题 | 设 $ a, b, c $ 是正实数，且 $ a + b + c = 1 $，证明：$ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $。 | 证明略，使用不等式或柯西不等式 |
| 7 | 解答题 | 已知数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $，求数列的通项公式。 | $ a_n = \frac{1}{n} $ |
| 8 | 解答题 | 在三角形 $ ABC $ 中，已知 $ AB = 5 $，$ AC = 7 $，$ BC = 8 $，求其面积。 | $ 12\sqrt{6} $ |
以上是2021年全国高中数学联赛部分题目的答案总结。这些题目涵盖了代数、几何、数列、不等式等多个数学领域，全面考查了学生的数学素养和解题能力。
通过参加这样的竞赛，学生们不仅能够提升自己的数学水平，还能在竞争中锻炼逻辑思维和应变能力。对于有志于数学研究的学生来说，全国高中数学联赛是一个重要的起点，也为他们未来的学习和发展打下了坚实的基础。
