在初中数学的学习中，反比例函数与几何图形的结合问题常常成为考试中的难点。今天，我们就来探讨一道与反比例函数和三角形相关的综合题，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
例题解析
题目：
已知反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图像经过点 A(2, 3)，并且与直线 \( y = x + 1 \) 相交于点 B。求点 B 的坐标，并计算由点 O(0, 0)、点 A 和点 B 所构成的三角形的面积。
解题步骤：
1. 确定反比例函数的表达式：
根据题意，点 A(2, 3) 在反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图像上。将点 A 的坐标代入函数表达式：
\[
3 = \frac{k}{2}
\]
解得 \( k = 6 \)。因此，反比例函数的表达式为：
\[
y = \frac{6}{x}
\]
2. 求点 B 的坐标：
点 B 是反比例函数 \( y = \frac{6}{x} \) 与直线 \( y = x + 1 \) 的交点。将两者的方程联立：
\[
\frac{6}{x} = x + 1
\]
化简后得到：
\[
x^2 + x - 6 = 0
\]
运用因式分解法，解得：
\[
(x - 2)(x + 3) = 0
\]
故 \( x = 2 \) 或 \( x = -3 \)。由于点 A 已经是 (2, 3)，所以点 B 的横坐标为 -3。将 \( x = -3 \) 代入 \( y = x + 1 \) 得：
\[
y = -3 + 1 = -2
\]
因此，点 B 的坐标为 (-3, -2)。
3. 计算三角形的面积：
由点 O(0, 0)、点 A(2, 3) 和点 B(-3, -2) 构成的三角形，其面积可以通过以下公式计算：
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right|
\]
将点 O(0, 0)、A(2, 3)、B(-3, -2) 的坐标代入公式：
\[
S = \frac{1}{2} \left| 0(3+2) + 2(-2-0) + (-3)(0-3) \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| 0 - 4 + 9 \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5
\]
总结：
通过以上分析，我们得出点 B 的坐标为 (-3, -2)，由点 O、A 和 B 构成的三角形面积为 2.5 平方单位。
希望这道题目能帮助大家加深对反比例函数与几何图形结合问题的理解。如果还有疑问，欢迎继续探讨！
