一、教学目标

1. 知识与技能目标

- 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程形式。

- 能够根据椭圆的几何特征推导出其标准方程，并能判断椭圆的焦点位置。

- 能够利用标准方程解决简单的几何问题。

2. 过程与方法目标

- 通过观察生活中的椭圆实例，引导学生发现椭圆的几何特性。

- 借助数形结合的方法，提升学生的逻辑思维能力和数学建模能力。

3. 情感态度与价值观目标

- 激发学生对几何图形的兴趣，增强学习数学的信心。

- 培养学生严谨的数学思维习惯和合作探究的精神。

二、教学重点与难点

- 教学重点：椭圆的定义及标准方程的推导过程。

- 教学难点：椭圆标准方程的建立及其几何意义的理解。

三、教学准备

- 教具：多媒体课件、几何画板软件、实物模型（如椭圆轨道）等。

- 学生准备：预习课本内容，思考椭圆在生活中的应用实例。

四、教学过程设计

1. 导入新课（5分钟）

教师通过展示一些生活中常见的椭圆形物体（如鸡蛋、水滴、行星轨道等），引导学生观察这些图形的共同特征，引出“椭圆”的概念。接着提问：“什么是椭圆？它有什么性质？”激发学生的求知欲。

2. 探究新知（20分钟）

（1）椭圆的定义

教师通过几何画板动态演示椭圆的形成过程，让学生直观理解椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。给出椭圆的定义：

> 平面内到两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数（大于F₁F₂）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。

（2）椭圆的标准方程推导

引导学生在坐标系中设定两个焦点F₁(-c, 0)、F₂(c, 0)，设椭圆上任意一点P(x, y)，根据椭圆定义有：

$$

\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a

$$

通过移项、平方、化简等步骤，最终得到椭圆的标准方程：

$$

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

$$

其中，a为长半轴，b为短半轴，c为焦距，满足关系式 $ c^2 = a^2 - b^2 $。

3. 巩固练习（15分钟）

（1）例题讲解：已知椭圆的两个焦点在x轴上，且焦距为6，椭圆经过点(5, 0)，求该椭圆的标准方程。

（2）课堂练习：给出几个椭圆的参数，让学生判断其焦点位置并写出标准方程。

（3）小组讨论：让学生分组分析不同位置的椭圆方程形式，总结规律。

4. 总结提升（5分钟）

教师带领学生回顾本节课的主要知识点，强调椭圆的定义、标准方程及其几何意义。鼓励学生思考椭圆在实际生活和科技中的应用，如天体运行、光学反射等。

5. 布置作业（5分钟）

- 完成教材相关练习题。

- 查阅资料，了解椭圆在航天、建筑等方面的应用案例，并写一篇小短文。

五、教学反思

本节课通过直观演示与动手操作相结合的方式，帮助学生深入理解椭圆的定义与标准方程的推导过程。在教学过程中应注重引导学生自主探究，避免直接灌输知识。同时，要关注学生在推导过程中可能遇到的困难，及时给予指导和鼓励。

六、板书设计

```

椭圆及其标准方程

一、定义：

平面内到两个定点F₁、F₂的距离之和为常数（大于F₁F₂）的点的轨迹。

二、标准方程：

当焦点在x轴上时：

x²/a² + y²/b² = 1 （a > b > 0）

当焦点在y轴上时：

x²/b² + y²/a² = 1 （a > b > 0）

三、关系式：

c² = a² - b²

```

备注：本教案设计注重学生的参与度与思维训练，旨在培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，符合新课程理念下的教学要求。