在初中数学的学习过程中，因式分解是一个非常重要的知识点。它不仅是代数运算的基础，也是解决方程、简化表达式和分析多项式结构的重要工具。掌握因式分解的方法，有助于提高学生的逻辑思维能力和计算能力。
以下是一些适合初中生的因式分解练习题及详细解答，帮助学生巩固所学知识，提升解题技巧。
一、基础题型
1. 将下列多项式进行因式分解：
（1） $ 6x^2 + 9x $
（2） $ 4a^3 - 8a^2 $
（3） $ x^2 - 5x $
（4） $ 12y^3 + 18y^2 $
答案与解析：
（1）$ 6x^2 + 9x = 3x(2x + 3) $
说明：提取公因式 $ 3x $。
（2）$ 4a^3 - 8a^2 = 4a^2(a - 2) $
说明：提取公因式 $ 4a^2 $。
（3）$ x^2 - 5x = x(x - 5) $
说明：提取公因式 $ x $。
（4）$ 12y^3 + 18y^2 = 6y^2(2y + 3) $
说明：提取公因式 $ 6y^2 $。
二、运用公式法的题目
2. 因式分解下列多项式：
（1） $ x^2 - 16 $
（2） $ 9a^2 - 25b^2 $
（3） $ 4m^2 - 49n^2 $
（4） $ 25p^2 - 1 $
答案与解析：
（1）$ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $
说明：利用平方差公式 $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $。
（2）$ 9a^2 - 25b^2 = (3a - 5b)(3a + 5b) $
说明：同样应用平方差公式。
（3）$ 4m^2 - 49n^2 = (2m - 7n)(2m + 7n) $
说明：同上。
（4）$ 25p^2 - 1 = (5p - 1)(5p + 1) $
说明：平方差公式再次应用。
三、完全平方公式应用
3. 分解因式：
（1） $ x^2 + 6x + 9 $
（2） $ 4a^2 + 12a + 9 $
（3） $ 9y^2 - 12y + 4 $
（4） $ 16m^2 + 40m + 25 $
答案与解析：
（1）$ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 $
说明：符合完全平方公式 $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $。
（2）$ 4a^2 + 12a + 9 = (2a + 3)^2 $
说明：同样应用完全平方公式。
（3）$ 9y^2 - 12y + 4 = (3y - 2)^2 $
说明：注意中间项为负号，符号要正确。
（4）$ 16m^2 + 40m + 25 = (4m + 5)^2 $
说明：同样符合完全平方形式。
四、分组分解法
4. 分解因式：
（1） $ ab + ac + bd + cd $
（2） $ x^2 + 2x + xy + 2y $
（3） $ 3a^2 + 6a + 2ab + 4b $
（4） $ m^2 + 2mn + n^2 + p^2 + 2pn + p^2 $
答案与解析：
（1）$ ab + ac + bd + cd = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c) $
说明：分组后提取公因式。
（2）$ x^2 + 2x + xy + 2y = x(x + 2) + y(x + 2) = (x + y)(x + 2) $
说明：分组并提取相同因式。
（3）$ 3a^2 + 6a + 2ab + 4b = 3a(a + 2) + 2b(a + 2) = (3a + 2b)(a + 2) $
说明：分组后提取公共因子。
（4）$ m^2 + 2mn + n^2 + p^2 + 2pn + p^2 $
此题中可能存在笔误，若原题为 $ m^2 + 2mn + n^2 + p^2 + 2pn + p^2 $，则应重新检查是否为重复项。若原题是 $ m^2 + 2mn + n^2 + p^2 + 2pn + q^2 $，则可分别分解为 $ (m + n)^2 + (p + q)^2 $，但通常此类题目会更清晰。
五、综合练习题
5. 因式分解：
（1） $ x^3 - 4x $
（2） $ 2x^3 + 6x^2 - 8x $
（3） $ x^4 - 16 $
（4） $ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $
答案与解析：
（1）$ x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) $
说明：先提取公因式，再用平方差公式。
（2）$ 2x^3 + 6x^2 - 8x = 2x(x^2 + 3x - 4) = 2x(x + 4)(x - 1) $
说明：先提取公因式，再对二次三项式进行分解。
（3）$ x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) $
说明：两次应用平方差公式。
（4）$ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3 $
说明：这是一个立方差公式或完全立方展开式的反向过程。
通过以上练习题的训练，学生可以更好地理解和掌握因式分解的基本方法，包括提取公因式、平方差公式、完全平方公式以及分组分解等。建议学生在做题时多思考、多总结，逐步形成自己的解题思路和方法。
