【数学:1.2.2复合函数的求导法则教案】一、教学目标
1. 知识与技能
- 理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导方法。
- 熟练运用链式法则进行复合函数的求导运算。
- 能够在实际问题中应用复合函数的导数。
2. 过程与方法
- 通过实例分析，引导学生发现并总结复合函数求导的规律。
- 培养学生的逻辑思维能力和数学抽象能力。
3. 情感态度与价值观
- 激发学生对数学学习的兴趣，增强解决实际问题的信心。
- 培养严谨的数学思维习惯和合作探究的学习意识。
二、教学重点与难点
- 重点：复合函数的求导法则（即链式法则）的理解与应用。
- 难点：正确识别复合函数的结构，并准确地进行分层求导。
三、教学准备
- 教材：高中数学或大学微积分教材相关内容。
- 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、练习题纸。
- 学生准备：复习基本初等函数的导数公式，预习本节内容。
四、教学过程
1. 导入新课（5分钟）
教师提问：
“我们已经学习了基本初等函数的导数，比如 $ y = x^2 $、$ y = \sin x $、$ y = e^x $ 等。那么如果函数是像 $ y = \sin(2x) $ 或 $ y = (x^2 + 1)^3 $ 这样的形式，我们该如何求导呢？”
学生思考后回答，教师引导学生认识到这些函数是“复合函数”，从而引出本节课的主题。
2. 新知讲解（15分钟）
（1）复合函数的定义
若函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $ 都可导，则称 $ y = f(g(x)) $ 为一个复合函数，其中 $ u $ 是中间变量。
（2）复合函数的求导法则（链式法则）
设 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：外层函数的导数乘以内层函数的导数。
举例说明：
例1：求 $ y = \sin(2x) $ 的导数。
解：令 $ u = 2x $，则 $ y = \sin u $，
$$
\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot \frac{du}{dx} = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
例2：求 $ y = (x^2 + 1)^3 $ 的导数。
解：令 $ u = x^2 + 1 $，则 $ y = u^3 $，
$$
\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx} = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2
$$
3. 巩固练习（10分钟）
学生独立完成以下题目：
1. 求 $ y = \ln(3x + 2) $ 的导数。
2. 求 $ y = e^{x^2} $ 的导数。
3. 求 $ y = \sqrt{x^3 + 1} $ 的导数。
教师巡视指导，完成后请几位学生上台展示解题过程，其他同学点评。
4. 总结提升（5分钟）
教师引导学生回顾本节课
- 什么是复合函数？
- 如何用链式法则求导？
- 在应用过程中需要注意什么？
强调：链式法则的关键在于正确识别内外函数，并逐层求导。
五、布置作业
1. 完成教材第X页第X题至第X题。
2. 自选两个复合函数，分别写出其导数表达式并解释每一步的推导过程。
3. 思考题：如果函数是三层复合，如 $ y = f(g(h(x))) $，如何求导？
六、教学反思
本节课通过实例引入复合函数的概念，结合具体例子讲解链式法则的应用，使学生能够逐步理解并掌握复合函数的求导方法。在后续教学中，可以进一步拓展多层复合函数的求导技巧，提高学生的综合应用能力。
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备注：本教案适用于高中或大学低年级的微积分教学，可根据学生实际情况调整难度与进度。
