【等价无穷小公式大全】在高等数学中，尤其是微积分的学习过程中，等价无穷小是一个非常重要的概念。它不仅在求极限时具有广泛的应用，还在泰勒展开、函数近似计算等方面发挥着重要作用。掌握常见的等价无穷小公式，有助于提高解题效率和理解数学的本质。
以下是一些常用的等价无穷小公式，适用于当 $ x \to 0 $ 时的极限问题：
一、基本等价无穷小关系
1. $\sin x \sim x$
2. $\tan x \sim x$
3. $\arcsin x \sim x$
4. $\arctan x \sim x$
5. $\ln(1 + x) \sim x$
6. $e^x - 1 \sim x$
7. $a^x - 1 \sim x \ln a$（其中 $a > 0, a \neq 1$）
8. $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
9. $\sqrt{1 + x} - 1 \sim \frac{1}{2}x$
10. $(1 + x)^k - 1 \sim kx$（其中 $k$ 为常数）
二、常见组合与变形
1. $\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$
2. $\tan x - x \sim \frac{x^3}{3}$
3. $\ln(1 + x) - x \sim -\frac{x^2}{2}$
4. $e^x - 1 - x \sim \frac{x^2}{2}$
5. $1 - \cos x - \frac{x^2}{2} \sim -\frac{x^4}{24}$
三、其他常用等价关系
1. $\sinh x \sim x$（双曲正弦）
2. $\cosh x - 1 \sim \frac{1}{2}x^2$（双曲余弦）
3. $\tanh x \sim x$
4. $\text{arcsinh } x \sim x$
5. $\text{arccosh } x \sim \ln(2x)$（当 $x \to \infty$ 时）
四、应用技巧
在使用等价无穷小时，需要注意以下几点：
- 适用范围：这些公式通常适用于 $x \to 0$ 的情况，若 $x \to \infty$ 或其他极限点，需根据具体情况判断是否适用。
- 替换原则：在极限运算中，若某项是无穷小，可以用其等价形式代替，以简化计算。
- 高阶无穷小：若两个无穷小量的比值为0，则称前者是后者的高阶无穷小；若比值为非零常数，则它们是同阶无穷小；若比值为1，则为等价无穷小。
五、典型例题解析
例1：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$
解：由 $\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，可得
$$
\frac{\sin x - x}{x^3} \sim \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}
$$
因此极限为 $-\frac{1}{6}$。
例2：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$
解：由 $e^x - 1 \sim x + \frac{x^2}{2}$，则
$$
\frac{e^x - 1 - x}{x^2} \sim \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}
$$
故极限为 $\frac{1}{2}$。
六、总结
等价无穷小是微积分中极为实用的工具，尤其在处理复杂极限问题时，能够显著简化计算过程。通过熟练掌握上述公式，并结合实际题目灵活运用，可以大大提升解题效率和数学思维能力。
在学习过程中，建议多做练习题，加深对这些公式的理解和记忆，同时注意不同情况下公式的适用性，避免误用导致错误结果。
