【函数单调性七类经典题型】在高中数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，它不仅在函数图像的理解中起到关键作用，而且在求极值、解不等式、证明不等式等方面也具有广泛的应用。掌握函数单调性的判断方法和常见题型，对于提高数学成绩和思维能力具有重要意义。
本文将围绕“函数单调性七类经典题型”展开分析，帮助学生系统地理解和掌握这一内容。
一、利用导数判断单调性
这是最常见、最直接的方法。若函数 $ f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 上可导，则：
- 若 $ f'(x) > 0 $，则 $ f(x) $ 在该区间上单调递增；
- 若 $ f'(x) < 0 $，则 $ f(x) $ 在该区间上单调递减。
例题：判断函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调性。
解析：求导得 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $。令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm1 $。通过分析导数符号变化，可知函数在 $ (-\infty, -1) $ 和 $ (1, +\infty) $ 上单调递增，在 $ (-1, 1) $ 上单调递减。
二、利用定义法判断单调性
对于一些复杂或非初等函数，可以使用定义法来判断其单调性。
定义：设 $ x_1 < x_2 $，若 $ f(x_1) < f(x_2) $，则 $ f(x) $ 在该区间上单调递增；反之，若 $ f(x_1) > f(x_2) $，则单调递减。
例题：证明函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上是单调递减的。
解析：任取 $ x_1 < x_2 < 0 $，则 $ f(x_1) = \frac{1}{x_1} $，$ f(x_2) = \frac{1}{x_2} $。因为 $ x_1 < x_2 $，所以 $ \frac{1}{x_1} > \frac{1}{x_2} $，即 $ f(x_1) > f(x_2) $，说明函数在该区间上单调递减。
三、复合函数的单调性
复合函数的单调性由内函数与外函数的单调性共同决定。若内函数和外函数同为增函数或同为减函数，则复合函数为增函数；若一增一减，则复合函数为减函数。
例题：判断函数 $ y = \sin(\ln x) $ 的单调性。
解析：令 $ u = \ln x $，则 $ y = \sin u $。由于 $ \ln x $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，而 $ \sin u $ 在某些区间上是递增或递减的。因此需要结合具体区间进行分析。
四、分段函数的单调性
对于分段函数，需分别判断每一段的单调性，并注意在分界点处是否连续、是否可导。
例题：判断函数
$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x \leq 0 \\
2x + 1, & x > 0
\end{cases}
$$
的单调性。
解析：当 $ x \leq 0 $ 时，$ f(x) = x^2 $ 单调递减；当 $ x > 0 $ 时，$ f(x) = 2x + 1 $ 单调递增。但在 $ x = 0 $ 处，函数连续但不可导，因此整体上函数在 $ (-\infty, 0] $ 上递减，在 $ (0, +\infty) $ 上递增。
五、含参数函数的单调性分析
这类题目通常需要讨论参数的不同取值对函数单调性的影响。
例题：已知函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，讨论其单调性。
解析：若 $ a > 0 $，则函数在 $ (-\infty, -\frac{b}{2a}) $ 上递减，在 $ (-\frac{b}{2a}, +\infty) $ 上递增；若 $ a < 0 $，则情况相反；若 $ a = 0 $，则函数变为一次函数，单调性取决于 $ b $ 的正负。
六、函数单调性与极值的关系
函数的极值点往往是单调区间的分界点。在极值点附近，函数的单调性会发生改变。
例题：求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值并判断单调性。
解析：先求导 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $，令导数为零得 $ x = \pm1 $。再判断导数符号变化，得到 $ x = -1 $ 是极大值点，$ x = 1 $ 是极小值点。函数在 $ (-\infty, -1) $ 递增，$ (-1, 1) $ 递减，$ (1, +\infty) $ 递增。
七、单调性在不等式中的应用
单调性常用于比较函数值大小、解不等式等问题。
例题：已知函数 $ f(x) $ 在 $ [a, b] $ 上单调递增，且 $ f(a) < f(b) $，判断不等式 $ f(x) < f(y) $ 成立的条件。
解析：若 $ x < y $，则 $ f(x) < f(y) $；若 $ x > y $，则 $ f(x) > f(y) $。因此，不等式成立的条件是 $ x < y $。
结语
函数单调性是数学学习中的重要基础内容，掌握其七类经典题型有助于提升解题能力和逻辑思维。通过不断练习和归纳总结，学生可以更加熟练地应对各类与单调性相关的题目，为后续的学习打下坚实的基础。
