【高中数学必修五数列综合测试题(中等难度)】在高中数学的学习过程中，数列是一个重要的知识点，它不仅与函数、方程等内容紧密相连，还在实际问题中有着广泛的应用。本测试题旨在帮助学生巩固数列的基本概念与解题技巧，提升逻辑思维能力和综合运用能力。

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 数列 $ a_n = 3n + 1 $ 的第5项是（ ）

A. 14

B. 16

C. 18

D. 20

2. 在等差数列中，已知首项为 $ a_1 = 2 $，公差为 $ d = -3 $，则第7项为（ ）

A. -16

B. -14

C. -12

D. -10

3. 若一个等比数列的前3项为 $ 2, 6, 18 $，则其第5项为（ ）

A. 54

B. 162

C. 81

D. 243

4. 已知数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = a_n + 2 $，则该数列为（ ）

A. 等差数列

B. 等比数列

C. 递增数列

D. 递减数列

5. 设 $ S_n $ 是等差数列 $ \{a_n\} $ 的前n项和，若 $ S_5 = 30 $，且 $ a_1 + a_5 = 12 $，则公差 $ d $ 为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

二、填空题（每空4分，共20分）

6. 数列 $ 3, 6, 12, 24, \ldots $ 是一个________数列，其通项公式为________。

7. 若等差数列的第3项为 $ 7 $，第8项为 $ 17 $，则其公差为________。

8. 数列 $ 1, 4, 9, 16, 25, \ldots $ 的第10项为________。

9. 若等比数列的首项为 $ 4 $，公比为 $ \frac{1}{2} $，则其前4项的和为________。

10. 已知数列 $ \{a_n\} $ 中，$ a_1 = 1 $，$ a_2 = 3 $，且 $ a_{n+2} = a_{n+1} + a_n $，则 $ a_5 = $ ________。

三、解答题（共60分）

11. （10分）已知等差数列 $ \{a_n\} $ 中，$ a_3 = 5 $，$ a_7 = 17 $，求该数列的通项公式及前10项的和。

12. （10分）设等比数列 $ \{b_n\} $ 的前三项分别为 $ b_1 = 2 $，$ b_2 = 6 $，$ b_3 = 18 $，求该数列的通项公式，并计算前5项的和。

13. （15分）已知数列 $ \{c_n\} $ 满足 $ c_1 = 1 $，$ c_{n+1} = 2c_n + 1 $，求该数列的通项公式，并计算 $ c_5 $ 的值。

14. （15分）已知数列 $ \{d_n\} $ 的前n项和为 $ S_n = n^2 + 2n $，求数列 $ \{d_n\} $ 的通项公式，并判断该数列是否为等差或等比数列。

15. （10分）某公司每年的利润按一定规律增长，第一年利润为10万元，第二年利润为15万元，第三年利润为22.5万元，第四年利润为33.75万元……请分析该数列的规律，并求出第六年的利润是多少？

四、附加题（10分）

16. 已知数列 $ \{x_n\} $ 满足 $ x_1 = 1 $，$ x_{n+1} = \frac{x_n}{1 + x_n} $，试求 $ x_5 $ 的值。

参考答案（供教师使用）

1. A

2. B

3. B

4. A

5. A

6. 等比；$ a_n = 3 \cdot 2^{n-1} $

7. 2

8. 100

9. $ \frac{15}{2} $

10. 8

11. $ a_n = 3n - 4 $，$ S_{10} = 110 $

12. $ b_n = 2 \cdot 3^{n-1} $，$ S_5 = 242 $

13. $ c_n = 2^n - 1 $，$ c_5 = 31 $

14. $ d_n = 2n + 1 $，是等差数列

15. 第六年的利润为 84.375 万元

16. $ x_5 = \frac{1}{5} $

通过本测试题的练习，可以有效提高学生对数列相关知识的理解与应用能力，同时培养其严谨的数学思维习惯。希望同学们认真思考，独立完成，查漏补缺，不断提升自己的数学素养。