【(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳】一、角的概念与推广
1. 任意角
在平面几何中，角是由一条射线绕其端点旋转所形成的图形。在三角函数的学习中，角的范围不再局限于0°到360°，而是可以是任意大小的正角或负角。
2. 终边相同角
如果两个角的终边相同，则它们相差360°的整数倍。即：若α与β终边相同，则有β = α + 2kπ（k∈Z）。
3. 象限角
根据角的终边所在的位置，将坐标平面分为四个象限，分别称为第一、第二、第三和第四象限角。
二、弧度制
1. 弧度定义
在单位圆中，长度等于半径的弧所对的圆心角称为1弧度（rad）。弧度制是数学中常用的角的度量方式。
2. 角度与弧度的转换
- 180° = π rad
- 1° = π/180 rad
- 1 rad ≈ 57.3°
3. 弧长公式
弧长l = rθ（其中r为半径，θ为圆心角的弧度数）
三、三角函数的定义
1. 单位圆中的三角函数定义
在直角坐标系中，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x（x ≠ 0）
- cotα = x/y（y ≠ 0）
- secα = 1/x（x ≠ 0）
- cscα = 1/y（y ≠ 0）
2. 三角函数的符号规律
根据角所在的象限，各三角函数的符号如下：
- 第一象限：全正
- 第二象限：sin正，cos、tan负
- 第三象限：tan正，sin、cos负
- 第四象限：cos正，sin、tan负
四、三角函数的基本关系
1. 同角三角函数的基本关系
- 平方关系：sin²α + cos²α = 1
- 商数关系：tanα = sinα / cosα
- 倒数关系：cotα = 1/tanα，secα = 1/cosα，cscα = 1/sinα
2. 诱导公式
利用单位圆的对称性，可以得到以下常用诱导公式：
- sin(π - α) = sinα
- cos(π - α) = -cosα
- sin(π + α) = -sinα
- cos(π + α) = -cosα
- sin(-α) = -sinα
- cos(-α) = cosα
五、三角函数的图像与性质
1. 正弦函数 y = sinx 的图像与性质
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期：2π
- 奇函数：sin(-x) = -sinx
- 单调性：在区间 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] 上单调递增，在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] 上单调递减
2. 余弦函数 y = cosx 的图像与性质
- 定义域：R
- 值域：[-1, 1]
- 周期：2π
- 偶函数：cos(-x) = cosx
- 单调性：在区间 [2kπ, π + 2kπ] 上单调递减，在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] 上单调递增
3. 正切函数 y = tanx 的图像与性质
- 定义域：x ≠ π/2 + kπ（k∈Z）
- 值域：R
- 周期：π
- 奇函数：tan(-x) = -tanx
- 单调性：在每个周期内单调递增
六、三角函数的图像变换
1. 振幅变换
函数 y = A sinx 或 y = A cosx 的振幅为 |A|，表示图像相对于x轴的最大偏离值。
2. 周期变换
函数 y = sin(ωx) 的周期为 2π/|ω|，ω越大，周期越小。
3. 相位变换
函数 y = sin(x + φ) 表示将原函数向左平移φ个单位（φ > 0）或向右平移|φ|个单位（φ < 0）。
4. 上下平移
函数 y = sinx + b 表示将原函数向上平移b个单位（b > 0）或向下平移|b|个单位（b < 0）。
七、三角函数的应用
1. 实际问题中的应用
三角函数广泛应用于物理、工程、航海、建筑等领域，如简谐振动、波的传播、高度测量等。
2. 解三角形
利用正弦定理和余弦定理，可以在已知部分边角信息的情况下求出未知的边或角。
八、总结
本章内容围绕“角”的概念展开，从角度制过渡到弧度制，学习了三角函数的定义、基本关系、图像性质及其变换规律。掌握这些知识对于后续学习三角恒等变换、三角函数的应用等内容具有重要意义。建议通过多做练习题来加深对知识点的理解和运用能力。
