【极大似然估计练习题大似然估计练习题】在统计学中，极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种常用的参数估计方法。它通过寻找使观测数据出现概率最大的参数值来对模型进行估计。为了帮助大家更好地掌握这一概念，以下是一些关于极大似然估计的练习题，涵盖不同类型的分布和应用场景。
一、基础练习题
题目1：
设随机变量 $ X $ 服从二项分布 $ B(n, p) $，其中 $ n $ 已知，$ p $ 为未知参数。从该分布中抽取样本 $ x_1, x_2, \ldots, x_m $，试求 $ p $ 的极大似然估计量。
解法提示：
- 写出似然函数；
- 对似然函数取对数，得到对数似然函数；
- 求导并令导数为零，解得估计量。
题目2：
设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是来自正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ 的一个样本，其中 $ \mu $ 和 $ \sigma^2 $ 均为未知参数。试分别求 $ \mu $ 和 $ \sigma^2 $ 的极大似然估计量。
解法提示：
- 构建似然函数；
- 取对数后分别对 $ \mu $ 和 $ \sigma^2 $ 求偏导；
- 解方程组得到估计结果。
二、进阶练习题
题目3：
假设某事件发生的次数服从泊松分布 $ P(\lambda) $，现有一组观测数据：$ 3, 5, 4, 6, 7 $，试求 $ \lambda $ 的极大似然估计值。
解法提示：
- 泊松分布的概率质量函数为 $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $；
- 写出似然函数并取对数；
- 对 $ \lambda $ 求导，解得估计值。
题目4：
已知某随机变量 $ X $ 的概率密度函数为：
$$
f(x; \theta) = \theta x^{\theta - 1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0
$$
给定样本 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，求 $ \theta $ 的极大似然估计量。
解法提示：
- 构造似然函数；
- 取对数后对 $ \theta $ 求导；
- 解出估计量。
三、综合应用题
题目5：
设某次考试成绩服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，现有样本数据如下（单位：分）：
$$
85, 90, 78, 92, 88, 80, 83, 95, 86, 91
$$
要求：
1. 求 $ \mu $ 和 $ \sigma^2 $ 的极大似然估计；
2. 计算其数值结果。
解法提示：
- 使用前一题的方法求出估计量；
- 将数据代入计算具体数值。
四、思考与拓展
问题：
为什么极大似然估计通常不考虑先验信息？在什么情况下极大似然估计可能不是最优的？
思考方向：
- 极大似然估计是频率学派的方法；
- 在贝叶斯统计中，会引入先验分布；
- 当样本量较小时，MLE 可能不稳定或偏差较大。
总结
极大似然估计是统计推断中的核心工具之一，适用于多种分布类型。通过练习这些题目，可以加深对 MLE 原理的理解，并提高实际应用能力。建议结合教材和参考资料进行深入学习，同时多做相关习题以巩固知识。
如需答案解析或进一步讲解，请随时提出！
