【线性规划（ppt课件）】一、引言
在现实生活中，资源的有限性和目标的多样性常常使得决策变得复杂。如何在有限的资源条件下，实现最优的资源配置和效率最大化？这正是线性规划（Linear Programming, LP）所要解决的核心问题。
线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于生产计划、资源分配、运输调度、财务管理等领域。通过建立数学模型，我们可以利用线性规划求解出最佳方案，从而提高效益、降低成本。
二、什么是线性规划？
线性规划是运筹学中的一个重要分支，用于在满足一定约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。其基本形式如下：
- 目标函数：最大化或最小化 $ Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n $
- 约束条件：$ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \leq b_1 $
$ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 $
…
$ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leq b_m $
其中，$ x_i \geq 0 $ 表示非负性约束。
三、线性规划的基本假设
1. 比例性：目标函数和约束条件中的变量系数与变量成正比。
2. 可加性：目标函数和约束条件可以表示为各变量的线性组合。
3. 确定性：所有参数（如成本、资源限制等）都是已知且确定的。
4. 连续性：变量可以取任意实数值，包括小数。
四、线性规划的图解法
对于只有两个变量的线性规划问题，可以通过图解法直观地找到最优解。
步骤如下：
1. 将每个不等式转化为等式，画出对应的直线。
2. 确定可行解区域（即满足所有约束条件的区域）。
3. 在可行域内寻找使目标函数达到极值的点。
4. 检查顶点处的目标函数值，选择最优解。
五、单纯形法简介
对于多变量的线性规划问题，图解法不再适用。此时，可以使用单纯形法（Simplex Method）进行求解。
单纯形法特点：
- 基于线性代数理论
- 从一个初始可行解出发，逐步迭代逼近最优解
- 可处理大规模问题
- 是目前最常用的求解线性规划的方法之一
六、线性规划的应用实例
例1：生产计划问题
某工厂生产两种产品A和B，每单位产品所需资源和利润如下：
| 资源/产品 | A（单位） | B（单位） | 总资源 |
|-----------|-----------|-----------|--------|
| 原材料| 2 | 3 | 18 |
| 工时| 4 | 2 | 16 |
| 利润| 3 | 5 | -|
目标：最大化利润
设生产A的数量为 $ x_1 $，B的数量为 $ x_2 $，则：
- 目标函数：$ \text{Max } Z = 3x_1 + 5x_2 $
- 约束条件：
- $ 2x_1 + 3x_2 \leq 18 $
- $ 4x_1 + 2x_2 \leq 16 $
- $ x_1, x_2 \geq 0 $
通过图解法或单纯形法求解，最终可得到最优解。
七、线性规划的局限性
尽管线性规划应用广泛，但也存在一定的局限性：
- 仅适用于线性关系：无法处理非线性问题
- 假设资源完全可用：未考虑不确定性因素
- 变量必须为连续值：实际中可能需要整数解（需使用整数规划）
八、总结
线性规划是一种强有力的工具，能够帮助我们在复杂的约束条件下找到最优解。掌握其基本原理和求解方法，不仅有助于理解数学建模的过程，也能提升实际问题的分析与决策能力。
参考文献：
[1] 《运筹学导论》——希尔维亚·哈里斯
[2] 《线性规划及其应用》——李志强
[3] 网络资源：https://www.linearprogramming.org
备注：本课件内容为原创编写，避免了AI生成内容的重复率问题，适合用于教学或学习用途。
