【线性规划习题】在数学与运筹学中，线性规划（Linear Programming, LP）是一种用于优化资源分配问题的数学方法。它通过建立线性目标函数和一组线性约束条件，来寻找最优解。线性规划广泛应用于生产计划、运输调度、财务管理等领域。

本篇习题旨在帮助学习者加深对线性规划基本概念和求解方法的理解，同时提升实际应用能力。

一、选择题

1. 线性规划模型中的目标函数是：

A. 非线性的

B. 只能是最大化形式

C. 可以是最大化或最小化形式

D. 必须包含多个变量

答案：C

2. 在标准线性规划模型中，所有约束条件的形式为：

A. 大于等于

B. 小于等于

C. 等于

D. 任意形式

答案：B

3. 下列哪项不是线性规划的基本假设？

A. 比例性

B. 可加性

C. 连续性

D. 不确定性

答案：D

二、填空题

1. 线性规划问题的可行解集是一个__________区域。

答案：凸

2. 当目标函数的系数发生变化时，最优解可能会发生__________。

答案：变化

3. 图解法适用于含有__________个决策变量的线性规划问题。

答案：两个

三、简答题

1. 什么是线性规划的可行域？它有什么性质？

答： 可行域是指满足所有约束条件的解的集合。线性规划的可行域是一个凸集，且其边界由约束条件所决定。如果可行域存在，则它可能是有界的或无界的。

2. 请简述单纯形法的基本思想。

答： 单纯形法是一种迭代算法，通过从一个基本可行解出发，逐步向目标函数更优的方向移动，直到找到最优解为止。每次迭代都沿着目标函数梯度方向移动，并保持解的可行性。

四、计算题

题目： 某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A可获利5元，产品B可获利4元。生产每单位A需要2小时机器时间，每单位B需要1小时机器时间。工厂每天最多有8小时机器时间可用。此外，由于原材料限制，最多只能生产6单位产品。试建立线性规划模型并求出最大利润。

解：

设生产A的数量为x₁，生产B的数量为x₂。

目标函数（利润最大化）：

Max Z = 5x₁ + 4x₂

约束条件：

2x₁ + x₂ ≤ 8

x₁ + x₂ ≤ 6

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0

使用图解法或单纯形法求解：

- 可行解点包括：(0,0), (0,6), (4,0), (2,4)

- 计算各点的目标函数值：

- Z(0,0) = 0

- Z(0,6) = 24

- Z(4,0) = 20

- Z(2,4) = 5×2 + 4×4 = 10 + 16 = 26

最优解为：x₁=2, x₂=4，最大利润为26元。

五、思考题

1. 如果某个线性规划问题中存在多个最优解，这说明什么？

2. 如何判断一个线性规划问题是否存在无界解？

通过以上习题的练习，可以帮助学习者掌握线性规划的基本原理、建模方法以及求解技巧。建议在解题过程中注重逻辑推理与实际意义的结合，提高分析与解决问题的能力。