【(word版)正弦定理练习题(含答案),文档x】在高中数学的学习过程中，正弦定理是一个非常重要的知识点，尤其在解三角形的问题中应用广泛。为了帮助学生更好地掌握这一内容，本文提供一份原创的正弦定理练习题，并附有详细解答，方便学生自我检测与巩固知识。
一、正弦定理的基本概念
正弦定理是用于解决任意三角形中边角关系的重要公式之一。其基本形式如下：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中：
- $ a, b, c $ 分别为三角形三边；
- $ A, B, C $ 分别为对应边所对的角；
- $ R $ 为三角形外接圆的半径。
该定理适用于所有类型的三角形，无论是锐角、直角还是钝角三角形。
二、练习题精选
题目1：
已知在△ABC中，$ a = 5 $，$ b = 7 $，$ \angle A = 30^\circ $，求 $ \angle B $ 的大小。
题目2：
在△ABC中，已知 $ \angle A = 45^\circ $，$ \angle B = 60^\circ $，边 $ c = 10 $，求边 $ a $ 和 $ b $ 的长度。
题目3：
已知在△ABC中，$ \angle A = 90^\circ $，$ a = 10 $，$ \angle B = 30^\circ $，求边 $ b $ 和 $ c $ 的长度。
题目4：
若在△ABC中，$ \angle A = 60^\circ $，$ \angle B = 45^\circ $，且边 $ a = 8 $，求边 $ b $ 和 $ c $ 的长度。
题目5：
已知在△ABC中，$ a = 4 $，$ b = 5 $，$ \angle A = 30^\circ $，判断是否存在这样的三角形，若存在，求出 $ \angle B $ 的值。
三、参考答案与解析
题目1解析：
根据正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\Rightarrow \frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{7}{\sin B}
\Rightarrow \frac{5}{0.5} = \frac{7}{\sin B}
\Rightarrow 10 = \frac{7}{\sin B}
\Rightarrow \sin B = \frac{7}{10} = 0.7
$$
因此，$ \angle B = \arcsin(0.7) \approx 44.4^\circ $
题目2解析：
先求 $ \angle C $：
$$
\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ
$$
利用正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ}
$$
计算得：
$$
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
代入计算可得：
$$
a = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \approx 5.176 \\
b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \approx 7.32
$$
题目3解析：
由于 $ \angle A = 90^\circ $，所以这是一个直角三角形。已知 $ \angle B = 30^\circ $，则 $ \angle C = 60^\circ $。
利用正弦定理或特殊角三角函数可得：
$$
\sin 30^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{a \cdot \sin 30^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{10 \cdot 0.5}{1} = 5 \\
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow c = \frac{a \cdot \sin 60^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = 5\sqrt{3}
$$
题目4解析：
已知 $ \angle A = 60^\circ $，$ \angle B = 45^\circ $，所以 $ \angle C = 75^\circ $。
利用正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{c}{\sin 75^\circ}
$$
代入数值后可得：
$$
b = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 6.928 \\
c = \frac{8 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 9.238
$$
题目5解析：
根据正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\Rightarrow \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\sin B}
\Rightarrow \frac{4}{0.5} = \frac{5}{\sin B}
\Rightarrow 8 = \frac{5}{\sin B}
\Rightarrow \sin B = \frac{5}{8} = 0.625
$$
因此，$ \angle B = \arcsin(0.625) \approx 38.7^\circ $，存在这样的三角形。
四、总结
通过上述练习题，可以进一步加深对正弦定理的理解和应用能力。建议学生在学习过程中多做类似题目，提高解题技巧和逻辑思维能力。同时，注意在使用正弦定理时，考虑可能出现的“模糊情况”（即两个可能的角），避免出现错误。
如需更多练习题或相关知识点讲解，欢迎继续关注本系列内容。
